Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19936 / 9693
↖ ↑ ↗
← N 77.507684°
W 70.488281°		 ← 132.12 m → N 77.507684°
W 70.482788°		 →
↑
132.13 m
↓
↑
132.13 m
↓
N 77.506496°
W 70.488281°		 ← 132.13 m →
17 458 m²		 N 77.506496°
W 70.482788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304206848144531 y=0.147911071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304206848144531 × 216)
    floor (0.304206848144531 × 65536)
    floor (19936.5)     		tx = 19936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147911071777344 × 216)
    floor (0.147911071777344 × 65536)
    floor (9693.5)     		ty = 9693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19936 / 9693 ti = "16/19936/9693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19936/9693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19936 ÷ 216
    19936 ÷ 65536     		x = 0.30419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9693 ÷ 216
    9693 ÷ 65536     		y = 0.147903442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30419921875 × 2 - 1) × π
    -0.3916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.23025259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147903442382812 × 2 - 1) × π
    0.704193115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21228791746559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23025259} λ = -1.23025259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21228791746559))-π/2
    2×atan(9.13659627640414)-π/2
    2×1.46178030703255-π/2
    2.92356061406509-1.57079632675     		φ = 1.35276429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23025259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35276429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.507684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19936 KachelY 9693 -1.23025259 1.35276429 -70.488281 77.507684
    Oben rechts KachelX + 1 19937 KachelY 9693 -1.23015672 1.35276429 -70.482788 77.507684
    Unten links KachelX 19936 KachelY + 1 9694 -1.23025259 1.35274355 -70.488281 77.506496
    Unten rechts KachelX + 1 19937 KachelY + 1 9694 -1.23015672 1.35274355 -70.482788 77.506496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35276429-1.35274355) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dl = 132.134540000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35276429-1.35274355) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dr = 132.134540000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23025259--1.23015672) × cos(1.35276429) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216308671459951 × 6371000     		do = 132.118691072683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23025259--1.23015672) × cos(1.35274355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21632892039449 × 6371000     		du = 132.131058874255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35276429)-sin(1.35274355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216308671459951-0.21632892039449)×R²
    abs(-1.23015672--1.23025259)×2.02489345395018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02489345395018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02489345395018e-05×40589641000000     		ar = 17458.2595778834m²