Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19936 / 20835
↖ ↑ ↗
← S 43.858297°
E 39.023438°		 ← 880.87 m → S 43.858297°
E 39.034424°		 →
↑
880.79 m
↓
↑
880.79 m
↓
S 43.866218°
E 39.023438°		 ← 880.75 m →
775 810 m²		 S 43.866218°
E 39.034424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608413696289062 y=0.635848999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608413696289062 × 215)
    floor (0.608413696289062 × 32768)
    floor (19936.5)     		tx = 19936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635848999023438 × 215)
    floor (0.635848999023438 × 32768)
    floor (20835.5)     		ty = 20835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19936 / 20835 ti = "15/19936/20835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19936/20835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19936 ÷ 215
    19936 ÷ 32768     		x = 0.6083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20835 ÷ 215
    20835 ÷ 32768     		y = 0.635833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6083984375 × 2 - 1) × π
    0.216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68108747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.27166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.85346856083548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68108747} λ = 0.68108747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85346856083548))-π/2
    2×atan(0.42593498538138)-π/2
    2×0.402662321849644-π/2
    0.805324643699288-1.57079632675     		φ = -0.76547168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68108747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.023438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76547168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.858297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19936 KachelY 20835 0.68108747 -0.76547168 39.023438 -43.858297
    Oben rechts KachelX + 1 19937 KachelY 20835 0.68127922 -0.76547168 39.034424 -43.858297
    Unten links KachelX 19936 KachelY + 1 20836 0.68108747 -0.76560993 39.023438 -43.866218
    Unten rechts KachelX + 1 19937 KachelY + 1 20836 0.68127922 -0.76560993 39.034424 -43.866218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76547168--0.76560993) × R
    0.000138250000000006 × 6371000     		dl = 880.790750000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76547168--0.76560993) × R
    0.000138250000000006 × 6371000     		dr = 880.790750000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68108747-0.68127922) × cos(-0.76547168) × R
    0.000191749999999935 × 0.721055621349935 × 6371000     		do = 880.86984847392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68108747-0.68127922) × cos(-0.76560993) × R
    0.000191749999999935 × 0.72095982418888 × 6371000     		du = 880.752818901937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76547168)-sin(-0.76560993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721055621349935-0.72095982418888)×R²
    abs(0.68127922-0.68108747)×9.57971610549002e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57971610549002e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57971610549002e-05×40589641000000     		ar = 775810.476442997m²