Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19932 / 20773
↖ ↑ ↗
← S 43.365125°
E 38.979492°		 ← 888.12 m → S 43.365125°
E 38.990479°		 →
↑
888.05 m
↓
↑
888.05 m
↓
S 43.373112°
E 38.979492°		 ← 888.01 m →
788 649 m²		 S 43.373112°
E 38.990479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608291625976562 y=0.633956909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608291625976562 × 215)
    floor (0.608291625976562 × 32768)
    floor (19932.5)     		tx = 19932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633956909179688 × 215)
    floor (0.633956909179688 × 32768)
    floor (20773.5)     		ty = 20773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19932 / 20773 ti = "15/19932/20773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19932/20773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19932 ÷ 215
    19932 ÷ 32768     		x = 0.6082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20773 ÷ 215
    20773 ÷ 32768     		y = 0.633941650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6082763671875 × 2 - 1) × π
    0.216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68032048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633941650390625 × 2 - 1) × π
    -0.26788330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.841580209729706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68032048} λ = 0.68032048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841580209729706))-π/2
    2×atan(0.431028868979882)-π/2
    2×0.406966051152122-π/2
    0.813932102304244-1.57079632675     		φ = -0.75686422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68032048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.979492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75686422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.365125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19932 KachelY 20773 0.68032048 -0.75686422 38.979492 -43.365125
    Oben rechts KachelX + 1 19933 KachelY 20773 0.68051223 -0.75686422 38.990479 -43.365125
    Unten links KachelX 19932 KachelY + 1 20774 0.68032048 -0.75700361 38.979492 -43.373112
    Unten rechts KachelX + 1 19933 KachelY + 1 20774 0.68051223 -0.75700361 38.990479 -43.373112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75686422--0.75700361) × R
    0.000139390000000073 × 6371000     		dl = 888.053690000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75686422--0.75700361) × R
    0.000139390000000073 × 6371000     		dr = 888.053690000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68032048-0.68051223) × cos(-0.75686422) × R
    0.000191750000000046 × 0.72699274959419 × 6371000     		do = 888.122877369897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68032048-0.68051223) × cos(-0.75700361) × R
    0.000191750000000046 × 0.72689703106649 × 6371000     		du = 888.005943859507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75686422)-sin(-0.75700361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72699274959419-0.72689703106649)×R²
    abs(0.68051223-0.68032048)×9.57185276995176e-05×R²
    0.000191750000000046×9.57185276995176e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.57185276995176e-05×40589641000000     		ar = 788648.878081561m²