Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19931 / 9676
↖ ↑ ↗
← N 77.527868°
W 70.515747°		 ← 131.91 m → N 77.527868°
W 70.510254°		 →
↑
131.94 m
↓
↑
131.94 m
↓
N 77.526681°
W 70.515747°		 ← 131.92 m →
17 405 m²		 N 77.526681°
W 70.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304130554199219 y=0.147651672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304130554199219 × 216)
    floor (0.304130554199219 × 65536)
    floor (19931.5)     		tx = 19931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147651672363281 × 216)
    floor (0.147651672363281 × 65536)
    floor (9676.5)     		ty = 9676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19931 / 9676 ti = "16/19931/9676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19931/9676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19931 ÷ 216
    19931 ÷ 65536     		x = 0.304122924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9676 ÷ 216
    9676 ÷ 65536     		y = 0.14764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.304122924804688 × 2 - 1) × π
    -0.391754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.23073196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14764404296875 × 2 - 1) × π
    0.7047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21391777205267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23073196} λ = -1.23073196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21391777205267))-π/2
    2×atan(9.15149974169703)-π/2
    2×1.4619564426946-π/2
    2.9239128853892-1.57079632675     		φ = 1.35311656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23073196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.515747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35311656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.527868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19931 KachelY 9676 -1.23073196 1.35311656 -70.515747 77.527868
    Oben rechts KachelX + 1 19932 KachelY 9676 -1.23063609 1.35311656 -70.510254 77.527868
    Unten links KachelX 19931 KachelY + 1 9677 -1.23073196 1.35309585 -70.515747 77.526681
    Unten rechts KachelX + 1 19932 KachelY + 1 9677 -1.23063609 1.35309585 -70.510254 77.526681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35311656-1.35309585) × R
    2.07099999998128e-05 × 6371000     		dl = 131.943409998807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35311656-1.35309585) × R
    2.07099999998128e-05 × 6371000     		dr = 131.943409998807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23073196--1.23063609) × cos(1.35311656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215964728028427 × 6371000     		do = 131.908614631137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23073196--1.23063609) × cos(1.35309585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.215984949250252 × 6371000     		du = 131.920965506122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35311656)-sin(1.35309585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215964728028427-0.215984949250252)×R²
    abs(-1.23063609--1.23073196)×2.02212218245179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02212218245179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02212218245179e-05×40589641000000     		ar = 17405.2872316497m²