Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19930 / 20839
↖ ↑ ↗
← S 43.889975°
E 38.957519°		 ← 880.40 m → S 43.889975°
E 38.968506°		 →
↑
880.34 m
↓
↑
880.34 m
↓
S 43.897893°
E 38.957519°		 ← 880.28 m →
775 006 m²		 S 43.897893°
E 38.968506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608230590820312 y=0.635971069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608230590820312 × 215)
    floor (0.608230590820312 × 32768)
    floor (19930.5)     		tx = 19930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635971069335938 × 215)
    floor (0.635971069335938 × 32768)
    floor (20839.5)     		ty = 20839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19930 / 20839 ti = "15/19930/20839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19930/20839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19930 ÷ 215
    19930 ÷ 32768     		x = 0.60821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20839 ÷ 215
    20839 ÷ 32768     		y = 0.635955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60821533203125 × 2 - 1) × π
    0.2164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67993698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635955810546875 × 2 - 1) × π
    -0.27191162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.854235551229401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67993698} λ = 0.67993698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854235551229401))-π/2
    2×atan(0.425608422590429)-π/2
    2×0.402385873959905-π/2
    0.80477174791981-1.57079632675     		φ = -0.76602458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67993698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.957519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76602458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.889975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19930 KachelY 20839 0.67993698 -0.76602458 38.957519 -43.889975
    Oben rechts KachelX + 1 19931 KachelY 20839 0.68012873 -0.76602458 38.968506 -43.889975
    Unten links KachelX 19930 KachelY + 1 20840 0.67993698 -0.76616276 38.957519 -43.897893
    Unten rechts KachelX + 1 19931 KachelY + 1 20840 0.68012873 -0.76616276 38.968506 -43.897893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76602458--0.76616276) × R
    0.000138180000000099 × 6371000     		dl = 880.344780000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76602458--0.76616276) × R
    0.000138180000000099 × 6371000     		dr = 880.344780000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67993698-0.68012873) × cos(-0.76602458) × R
    0.000191749999999935 × 0.720672419362118 × 6371000     		do = 880.401713884925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67993698-0.68012873) × cos(-0.76616276) × R
    0.000191749999999935 × 0.720576615639288 × 6371000     		du = 880.28467629682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76602458)-sin(-0.76616276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720672419362118-0.720576615639288)×R²
    abs(0.68012873-0.67993698)×9.58037228299125e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58037228299125e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58037228299125e-05×40589641000000     		ar = 775005.537640391m²