Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19929 / 20769
↖ ↑ ↗
← S 43.333169°
E 38.946533°		 ← 888.54 m → S 43.333169°
E 38.957519°		 →
↑
888.50 m
↓
↑
888.50 m
↓
S 43.341160°
E 38.946533°		 ← 888.43 m →
789 419 m²		 S 43.341160°
E 38.957519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608200073242188 y=0.633834838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608200073242188 × 215)
    floor (0.608200073242188 × 32768)
    floor (19929.5)     		tx = 19929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633834838867188 × 215)
    floor (0.633834838867188 × 32768)
    floor (20769.5)     		ty = 20769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19929 / 20769 ti = "15/19929/20769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19929/20769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19929 ÷ 215
    19929 ÷ 32768     		x = 0.608184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20769 ÷ 215
    20769 ÷ 32768     		y = 0.633819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608184814453125 × 2 - 1) × π
    0.21636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67974524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633819580078125 × 2 - 1) × π
    -0.26763916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.840813219335785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67974524} λ = 0.67974524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840813219335785))-π/2
    2×atan(0.431359590795907)-π/2
    2×0.407244922791641-π/2
    0.814489845583283-1.57079632675     		φ = -0.75630648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67974524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.946533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75630648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.333169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19929 KachelY 20769 0.67974524 -0.75630648 38.946533 -43.333169
    Oben rechts KachelX + 1 19930 KachelY 20769 0.67993698 -0.75630648 38.957519 -43.333169
    Unten links KachelX 19929 KachelY + 1 20770 0.67974524 -0.75644594 38.946533 -43.341160
    Unten rechts KachelX + 1 19930 KachelY + 1 20770 0.67993698 -0.75644594 38.957519 -43.341160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75630648--0.75644594) × R
    0.00013945999999998 × 6371000     		dl = 888.499659999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75630648--0.75644594) × R
    0.00013945999999998 × 6371000     		dr = 888.499659999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67974524-0.67993698) × cos(-0.75630648) × R
    0.000191739999999996 × 0.727375605957945 × 6371000     		do = 888.544248630885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67974524-0.67993698) × cos(-0.75644594) × R
    0.000191739999999996 × 0.727279895916415 × 6371000     		du = 888.427331585219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75630648)-sin(-0.75644594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727375605957945-0.727279895916415)×R²
    abs(0.67993698-0.67974524)×9.57100415300838e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57100415300838e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57100415300838e-05×40589641000000     		ar = 789419.323705501m²