Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19928 / 20678
↖ ↑ ↗
← S 42.601620°
E 38.935547°		 ← 899.22 m → S 42.601620°
E 38.946533°		 →
↑
899.20 m
↓
↑
899.20 m
↓
S 42.609706°
E 38.935547°		 ← 899.10 m →
808 530 m²		 S 42.609706°
E 38.946533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608169555664062 y=0.631057739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608169555664062 × 215)
    floor (0.608169555664062 × 32768)
    floor (19928.5)     		tx = 19928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631057739257812 × 215)
    floor (0.631057739257812 × 32768)
    floor (20678.5)     		ty = 20678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19928 / 20678 ti = "15/19928/20678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19928/20678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19928 ÷ 215
    19928 ÷ 32768     		x = 0.608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20678 ÷ 215
    20678 ÷ 32768     		y = 0.63104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608154296875 × 2 - 1) × π
    0.21630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67955349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.2620849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.823364187874084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67955349} λ = 0.67955349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823364187874084))-π/2
    2×atan(0.438952449231878)-π/2
    2×0.413628896050206-π/2
    0.827257792100413-1.57079632675     		φ = -0.74353853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67955349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.935547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74353853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.601620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19928 KachelY 20678 0.67955349 -0.74353853 38.935547 -42.601620
    Oben rechts KachelX + 1 19929 KachelY 20678 0.67974524 -0.74353853 38.946533 -42.601620
    Unten links KachelX 19928 KachelY + 1 20679 0.67955349 -0.74367967 38.935547 -42.609706
    Unten rechts KachelX + 1 19929 KachelY + 1 20679 0.67974524 -0.74367967 38.946533 -42.609706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74353853--0.74367967) × R
    0.000141139999999984 × 6371000     		dl = 899.202939999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74353853--0.74367967) × R
    0.000141139999999984 × 6371000     		dr = 899.202939999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67955349-0.67974524) × cos(-0.74353853) × R
    0.000191750000000046 × 0.736077952455461 × 6371000     		do = 899.221717779442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67955349-0.67974524) × cos(-0.74367967) × R
    0.000191750000000046 × 0.735982407913028 × 6371000     		du = 899.104996816282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74353853)-sin(-0.74367967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736077952455461-0.735982407913028)×R²
    abs(0.67974524-0.67955349)×9.55445424335455e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55445424335455e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55445424335455e-05×40589641000000     		ar = 808530.33576512m²