Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19924 / 9686
↖ ↑ ↗
← N 77.515999°
W 70.554199°		 ← 132.05 m → N 77.515999°
W 70.548706°		 →
↑
132.07 m
↓
↑
132.07 m
↓
N 77.514812°
W 70.554199°		 ← 132.06 m →
17 440 m²		 N 77.514812°
W 70.548706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304023742675781 y=0.147804260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304023742675781 × 216)
    floor (0.304023742675781 × 65536)
    floor (19924.5)     		tx = 19924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147804260253906 × 216)
    floor (0.147804260253906 × 65536)
    floor (9686.5)     		ty = 9686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19924 / 9686 ti = "16/19924/9686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19924/9686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19924 ÷ 216
    19924 ÷ 65536     		x = 0.30401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9686 ÷ 216
    9686 ÷ 65536     		y = 0.147796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30401611328125 × 2 - 1) × π
    -0.3919677734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.23140308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147796630859375 × 2 - 1) × π
    0.70440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21295903406027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23140308} λ = -1.23140308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21295903406027))-π/2
    2×atan(9.14273005579448)-π/2
    2×1.46185286742829-π/2
    2.92370573485657-1.57079632675     		φ = 1.35290941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23140308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35290941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.515999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19924 KachelY 9686 -1.23140308 1.35290941 -70.554199 77.515999
    Oben rechts KachelX + 1 19925 KachelY 9686 -1.23130720 1.35290941 -70.548706 77.515999
    Unten links KachelX 19924 KachelY + 1 9687 -1.23140308 1.35288868 -70.554199 77.514812
    Unten rechts KachelX + 1 19925 KachelY + 1 9687 -1.23130720 1.35288868 -70.548706 77.514812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35290941-1.35288868) × R
    2.07300000001354e-05 × 6371000     		dl = 132.070830000862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35290941-1.35288868) × R
    2.07300000001354e-05 × 6371000     		dr = 132.070830000862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23140308--1.23130720) × cos(1.35290941) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216166984894797 × 6371000     		do = 132.045922650038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23140308--1.23130720) × cos(1.35288868) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216187224716678 × 6371000     		du = 132.058286175189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35290941)-sin(1.35288868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216166984894797-0.216187224716678)×R²
    abs(-1.23130720--1.23140308)×2.02398218809852e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.02398218809852e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.02398218809852e-05×40589641000000     		ar = 17440.2310339737m²