Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19923 / 20658
↖ ↑ ↗
← S 42.439674°
E 38.880615°		 ← 901.56 m → S 42.439674°
E 38.891602°		 →
↑
901.50 m
↓
↑
901.50 m
↓
S 42.447782°
E 38.880615°		 ← 901.44 m →
812 696 m²		 S 42.447782°
E 38.891602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608016967773438 y=0.630447387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608016967773438 × 215)
    floor (0.608016967773438 × 32768)
    floor (19923.5)     		tx = 19923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630447387695312 × 215)
    floor (0.630447387695312 × 32768)
    floor (20658.5)     		ty = 20658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19923 / 20658 ti = "15/19923/20658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19923/20658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19923 ÷ 215
    19923 ÷ 32768     		x = 0.608001708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20658 ÷ 215
    20658 ÷ 32768     		y = 0.63043212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608001708984375 × 2 - 1) × π
    0.21600341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67859475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.2608642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.81952923590448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67859475} λ = 0.67859475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81952923590448))-π/2
    2×atan(0.440639042727105)-π/2
    2×0.415042139464929-π/2
    0.830084278929857-1.57079632675     		φ = -0.74071205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67859475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.880615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74071205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.439674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19923 KachelY 20658 0.67859475 -0.74071205 38.880615 -42.439674
    Oben rechts KachelX + 1 19924 KachelY 20658 0.67878650 -0.74071205 38.891602 -42.439674
    Unten links KachelX 19923 KachelY + 1 20659 0.67859475 -0.74085355 38.880615 -42.447782
    Unten rechts KachelX + 1 19924 KachelY + 1 20659 0.67878650 -0.74085355 38.891602 -42.447782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74071205--0.74085355) × R
    0.000141500000000017 × 6371000     		dl = 901.496500000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74071205--0.74085355) × R
    0.000141500000000017 × 6371000     		dr = 901.496500000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67859475-0.67878650) × cos(-0.74071205) × R
    0.000191749999999935 × 0.7379882448553 × 6371000     		do = 901.55540595354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67859475-0.67878650) × cos(-0.74085355) × R
    0.000191749999999935 × 0.73789275134777 × 6371000     		du = 901.43874733662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74071205)-sin(-0.74085355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7379882448553-0.73789275134777)×R²
    abs(0.67878650-0.67859475)×9.54935075304642e-05×R²
    0.000191749999999935×9.54935075304642e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.54935075304642e-05×40589641000000     		ar = 812696.460711636m²