Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 19919 / 9681
↖ ↑ ↗
← N 77.521935°
W 70.581665°		 ← 131.98 m → N 77.521935°
W 70.576172°		 →
↑
132.01 m
↓
↑
132.01 m
↓
N 77.520748°
W 70.581665°		 ← 132 m →
17 424 m²		 N 77.520748°
W 70.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303947448730469 y=0.147727966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303947448730469 × 216)
    floor (0.303947448730469 × 65536)
    floor (19919.5)     		tx = 19919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147727966308594 × 216)
    floor (0.147727966308594 × 65536)
    floor (9681.5)     		ty = 9681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19919 / 9681 ti = "16/19919/9681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19919/9681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19919 ÷ 216
    19919 ÷ 65536     		x = 0.303939819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9681 ÷ 216
    9681 ÷ 65536     		y = 0.147720336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303939819335938 × 2 - 1) × π
    -0.392120361328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.23188245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147720336914062 × 2 - 1) × π
    0.704559326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21343840305647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23188245} λ = -1.23188245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21343840305647))-π/2
    2×atan(9.14711384776689)-π/2
    2×1.46190466718093-π/2
    2.92380933436187-1.57079632675     		φ = 1.35301301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23188245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.581665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35301301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.521935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19919 KachelY 9681 -1.23188245 1.35301301 -70.581665 77.521935
    Oben rechts KachelX + 1 19920 KachelY 9681 -1.23178657 1.35301301 -70.576172 77.521935
    Unten links KachelX 19919 KachelY + 1 9682 -1.23188245 1.35299229 -70.581665 77.520748
    Unten rechts KachelX + 1 19920 KachelY + 1 9682 -1.23178657 1.35299229 -70.576172 77.520748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35301301-1.35299229) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dl = 132.007119999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35301301-1.35299229) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dr = 132.007119999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23188245--1.23178657) × cos(1.35301301) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.216065833211096 × 6371000     		do = 131.98413399465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23188245--1.23178657) × cos(1.35299229) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.216086063733393 × 6371000     		du = 131.996491839136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35301301)-sin(1.35299229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216065833211096-0.216086063733393)×R²
    abs(-1.23178657--1.23188245)×2.02305222970212e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.02305222970212e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.02305222970212e-05×40589641000000     		ar = 17423.6610765735m²