Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19919 / 20718
↖ ↑ ↗
← S 42.924252°
E 38.836670°		 ← 894.55 m → S 42.924252°
E 38.847656°		 →
↑
894.49 m
↓
↑
894.49 m
↓
S 42.932296°
E 38.836670°		 ← 894.43 m →
800 113 m²		 S 42.932296°
E 38.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607894897460938 y=0.632278442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607894897460938 × 215)
    floor (0.607894897460938 × 32768)
    floor (19919.5)     		tx = 19919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632278442382812 × 215)
    floor (0.632278442382812 × 32768)
    floor (20718.5)     		ty = 20718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19919 / 20718 ti = "15/19919/20718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19919/20718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19919 ÷ 215
    19919 ÷ 32768     		x = 0.607879638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20718 ÷ 215
    20718 ÷ 32768     		y = 0.63226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607879638671875 × 2 - 1) × π
    0.21575927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67782776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.2645263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.831034091813293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67782776} λ = 0.67782776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831034091813293))-π/2
    2×atan(0.435598604387768)-π/2
    2×0.410813402376148-π/2
    0.821626804752296-1.57079632675     		φ = -0.74916952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67782776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.836670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74916952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.924252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19919 KachelY 20718 0.67782776 -0.74916952 38.836670 -42.924252
    Oben rechts KachelX + 1 19920 KachelY 20718 0.67801951 -0.74916952 38.847656 -42.924252
    Unten links KachelX 19919 KachelY + 1 20719 0.67782776 -0.74930992 38.836670 -42.932296
    Unten rechts KachelX + 1 19920 KachelY + 1 20719 0.67801951 -0.74930992 38.847656 -42.932296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74916952--0.74930992) × R
    0.000140399999999929 × 6371000     		dl = 894.488399999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74916952--0.74930992) × R
    0.000140399999999929 × 6371000     		dr = 894.488399999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67782776-0.67801951) × cos(-0.74916952) × R
    0.000191750000000046 × 0.732254703844368 × 6371000     		do = 894.551087213621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67782776-0.67801951) × cos(-0.74930992) × R
    0.000191750000000046 × 0.732159079893084 × 6371000     		du = 894.434269241492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74916952)-sin(-0.74930992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732254703844368-0.732159079893084)×R²
    abs(0.67801951-0.67782776)×9.56239512839296e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56239512839296e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56239512839296e-05×40589641000000     		ar = 800113.32587362m²