Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19918 / 20694
↖ ↑ ↗
← S 42.730874°
E 38.825683°		 ← 897.35 m → S 42.730874°
E 38.836670°		 →
↑
897.29 m
↓
↑
897.29 m
↓
S 42.738944°
E 38.825683°		 ← 897.24 m →
805 136 m²		 S 42.738944°
E 38.836670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607864379882812 y=0.631546020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607864379882812 × 215)
    floor (0.607864379882812 × 32768)
    floor (19918.5)     		tx = 19918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631546020507812 × 215)
    floor (0.631546020507812 × 32768)
    floor (20694.5)     		ty = 20694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19918 / 20694 ti = "15/19918/20694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19918/20694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19918 ÷ 215
    19918 ÷ 32768     		x = 0.60784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20694 ÷ 215
    20694 ÷ 32768     		y = 0.63153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60784912109375 × 2 - 1) × π
    0.2156982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67763601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63153076171875 × 2 - 1) × π
    -0.2630615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826432149449768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67763601} λ = 0.67763601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826432149449768))-π/2
    2×atan(0.437607823668541)-π/2
    2×0.412500939191484-π/2
    0.825001878382968-1.57079632675     		φ = -0.74579445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67763601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.825683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74579445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.730874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19918 KachelY 20694 0.67763601 -0.74579445 38.825683 -42.730874
    Oben rechts KachelX + 1 19919 KachelY 20694 0.67782776 -0.74579445 38.836670 -42.730874
    Unten links KachelX 19918 KachelY + 1 20695 0.67763601 -0.74593529 38.825683 -42.738944
    Unten rechts KachelX + 1 19919 KachelY + 1 20695 0.67782776 -0.74593529 38.836670 -42.738944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74579445--0.74593529) × R
    0.000140840000000031 × 6371000     		dl = 897.291640000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74579445--0.74593529) × R
    0.000140840000000031 × 6371000     		dr = 897.291640000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67763601-0.67782776) × cos(-0.74579445) × R
    0.000191750000000046 × 0.734549055757535 × 6371000     		do = 897.353957564059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67763601-0.67782776) × cos(-0.74593529) × R
    0.000191750000000046 × 0.734453480703751 × 6371000     		du = 897.237199327035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74579445)-sin(-0.74593529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734549055757535-0.734453480703751)×R²
    abs(0.67782776-0.67763601)×9.55750537838806e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55750537838806e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55750537838806e-05×40589641000000     		ar = 805135.822479243m²