Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19918 / 20687
↖ ↑ ↗
← S 42.674358°
E 38.825683°		 ← 898.17 m → S 42.674358°
E 38.836670°		 →
↑
898.12 m
↓
↑
898.12 m
↓
S 42.682435°
E 38.825683°		 ← 898.05 m →
806 613 m²		 S 42.682435°
E 38.836670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607864379882812 y=0.631332397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607864379882812 × 215)
    floor (0.607864379882812 × 32768)
    floor (19918.5)     		tx = 19918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631332397460938 × 215)
    floor (0.631332397460938 × 32768)
    floor (20687.5)     		ty = 20687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19918 / 20687 ti = "15/19918/20687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19918/20687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19918 ÷ 215
    19918 ÷ 32768     		x = 0.60784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20687 ÷ 215
    20687 ÷ 32768     		y = 0.631317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60784912109375 × 2 - 1) × π
    0.2156982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67763601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631317138671875 × 2 - 1) × π
    -0.26263427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.825089916260407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67763601} λ = 0.67763601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825089916260407))-π/2
    2×atan(0.438195589784745)-π/2
    2×0.412994131734029-π/2
    0.825988263468058-1.57079632675     		φ = -0.74480806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67763601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.825683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74480806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.674358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19918 KachelY 20687 0.67763601 -0.74480806 38.825683 -42.674358
    Oben rechts KachelX + 1 19919 KachelY 20687 0.67782776 -0.74480806 38.836670 -42.674358
    Unten links KachelX 19918 KachelY + 1 20688 0.67763601 -0.74494903 38.825683 -42.682435
    Unten rechts KachelX + 1 19919 KachelY + 1 20688 0.67782776 -0.74494903 38.836670 -42.682435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74480806--0.74494903) × R
    0.000140970000000018 × 6371000     		dl = 898.119870000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74480806--0.74494903) × R
    0.000140970000000018 × 6371000     		dr = 898.119870000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67763601-0.67782776) × cos(-0.74480806) × R
    0.000191750000000046 × 0.735218018749168 × 6371000     		do = 898.171189011435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67763601-0.67782776) × cos(-0.74494903) × R
    0.000191750000000046 × 0.735122457649648 × 6371000     		du = 898.054447821488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74480806)-sin(-0.74494903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735218018749168-0.735122457649648)×R²
    abs(0.67782776-0.67763601)×9.55610995200251e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55610995200251e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55610995200251e-05×40589641000000     		ar = 806612.969057057m²