Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19918 / 20685
↖ ↑ ↗
← S 42.658202°
E 38.825683°		 ← 898.40 m → S 42.658202°
E 38.836670°		 →
↑
898.37 m
↓
↑
898.37 m
↓
S 42.666281°
E 38.825683°		 ← 898.29 m →
807 052 m²		 S 42.666281°
E 38.836670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607864379882812 y=0.631271362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607864379882812 × 215)
    floor (0.607864379882812 × 32768)
    floor (19918.5)     		tx = 19918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631271362304688 × 215)
    floor (0.631271362304688 × 32768)
    floor (20685.5)     		ty = 20685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19918 / 20685 ti = "15/19918/20685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19918/20685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19918 ÷ 215
    19918 ÷ 32768     		x = 0.60784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20685 ÷ 215
    20685 ÷ 32768     		y = 0.631256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60784912109375 × 2 - 1) × π
    0.2156982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67763601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.26251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.824706421063446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67763601} λ = 0.67763601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824706421063446))-π/2
    2×atan(0.438363667915275)-π/2
    2×0.413135126345798-π/2
    0.826270252691597-1.57079632675     		φ = -0.74452607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67763601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.825683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74452607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.658202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19918 KachelY 20685 0.67763601 -0.74452607 38.825683 -42.658202
    Oben rechts KachelX + 1 19919 KachelY 20685 0.67782776 -0.74452607 38.836670 -42.658202
    Unten links KachelX 19918 KachelY + 1 20686 0.67763601 -0.74466708 38.825683 -42.666281
    Unten rechts KachelX + 1 19919 KachelY + 1 20686 0.67782776 -0.74466708 38.836670 -42.666281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74452607--0.74466708) × R
    0.000141009999999997 × 6371000     		dl = 898.374709999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74452607--0.74466708) × R
    0.000141009999999997 × 6371000     		dr = 898.374709999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67763601-0.67782776) × cos(-0.74452607) × R
    0.000191750000000046 × 0.735409130995527 × 6371000     		do = 898.404659232744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67763601-0.67782776) × cos(-0.74466708) × R
    0.000191750000000046 × 0.735313572015308 × 6371000     		du = 898.287920631818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74452607)-sin(-0.74466708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735409130995527-0.735313572015308)×R²
    abs(0.67782776-0.67763601)×9.55589802191792e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55589802191792e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55589802191792e-05×40589641000000     		ar = 807051.589035359m²