Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19917 / 20719
↖ ↑ ↗
← S 42.932296°
E 38.814698°		 ← 894.39 m → S 42.932296°
E 38.825683°		 →
↑
894.36 m
↓
↑
894.36 m
↓
S 42.940339°
E 38.814698°		 ← 894.27 m →
799 853 m²		 S 42.940339°
E 38.825683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607833862304688 y=0.632308959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607833862304688 × 215)
    floor (0.607833862304688 × 32768)
    floor (19917.5)     		tx = 19917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632308959960938 × 215)
    floor (0.632308959960938 × 32768)
    floor (20719.5)     		ty = 20719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19917 / 20719 ti = "15/19917/20719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19917/20719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19917 ÷ 215
    19917 ÷ 32768     		x = 0.607818603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20719 ÷ 215
    20719 ÷ 32768     		y = 0.632293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607818603515625 × 2 - 1) × π
    0.21563720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67744427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.26458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.831225839411774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67744427} λ = 0.67744427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831225839411774))-π/2
    2×atan(0.435515087408822)-π/2
    2×0.410743202919677-π/2
    0.821486405839354-1.57079632675     		φ = -0.74930992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67744427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.814698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74930992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.932296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19917 KachelY 20719 0.67744427 -0.74930992 38.814698 -42.932296
    Oben rechts KachelX + 1 19918 KachelY 20719 0.67763601 -0.74930992 38.825683 -42.932296
    Unten links KachelX 19917 KachelY + 1 20720 0.67744427 -0.74945030 38.814698 -42.940339
    Unten rechts KachelX + 1 19918 KachelY + 1 20720 0.67763601 -0.74945030 38.825683 -42.940339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74930992--0.74945030) × R
    0.000140380000000051 × 6371000     		dl = 894.360980000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74930992--0.74945030) × R
    0.000140380000000051 × 6371000     		dr = 894.360980000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67744427-0.67763601) × cos(-0.74930992) × R
    0.000191739999999996 × 0.732159079893084 × 6371000     		do = 894.387623386278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67744427-0.67763601) × cos(-0.74945030) × R
    0.000191739999999996 × 0.732063455134092 × 6371000     		du = 894.270810519675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74930992)-sin(-0.74945030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732159079893084-0.732063455134092)×R²
    abs(0.67763601-0.67744427)×9.56247589917192e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56247589917192e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56247589917192e-05×40589641000000     		ar = 799853.156230038m²