Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19917 / 20718
↖ ↑ ↗
← S 42.924252°
E 38.814698°		 ← 894.50 m → S 42.924252°
E 38.825683°		 →
↑
894.49 m
↓
↑
894.49 m
↓
S 42.932296°
E 38.814698°		 ← 894.39 m →
800 072 m²		 S 42.932296°
E 38.825683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607833862304688 y=0.632278442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607833862304688 × 215)
    floor (0.607833862304688 × 32768)
    floor (19917.5)     		tx = 19917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632278442382812 × 215)
    floor (0.632278442382812 × 32768)
    floor (20718.5)     		ty = 20718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19917 / 20718 ti = "15/19917/20718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19917/20718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19917 ÷ 215
    19917 ÷ 32768     		x = 0.607818603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20718 ÷ 215
    20718 ÷ 32768     		y = 0.63226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607818603515625 × 2 - 1) × π
    0.21563720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67744427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.2645263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.831034091813293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67744427} λ = 0.67744427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831034091813293))-π/2
    2×atan(0.435598604387768)-π/2
    2×0.410813402376148-π/2
    0.821626804752296-1.57079632675     		φ = -0.74916952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67744427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.814698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74916952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.924252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19917 KachelY 20718 0.67744427 -0.74916952 38.814698 -42.924252
    Oben rechts KachelX + 1 19918 KachelY 20718 0.67763601 -0.74916952 38.825683 -42.924252
    Unten links KachelX 19917 KachelY + 1 20719 0.67744427 -0.74930992 38.814698 -42.932296
    Unten rechts KachelX + 1 19918 KachelY + 1 20719 0.67763601 -0.74930992 38.825683 -42.932296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74916952--0.74930992) × R
    0.000140399999999929 × 6371000     		dl = 894.488399999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74916952--0.74930992) × R
    0.000140399999999929 × 6371000     		dr = 894.488399999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67744427-0.67763601) × cos(-0.74916952) × R
    0.000191739999999996 × 0.732254703844368 × 6371000     		do = 894.504435266204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67744427-0.67763601) × cos(-0.74930992) × R
    0.000191739999999996 × 0.732159079893084 × 6371000     		du = 894.387623386278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74916952)-sin(-0.74930992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732254703844368-0.732159079893084)×R²
    abs(0.67763601-0.67744427)×9.56239512839296e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56239512839296e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56239512839296e-05×40589641000000     		ar = 800071.598972452m²