Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19916 / 20700
↖ ↑ ↗
← S 42.779276°
E 38.803711°		 ← 896.65 m → S 42.779276°
E 38.814698°		 →
↑
896.59 m
↓
↑
896.59 m
↓
S 42.787339°
E 38.803711°		 ← 896.54 m →
803 879 m²		 S 42.787339°
E 38.814698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607803344726562 y=0.631729125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607803344726562 × 215)
    floor (0.607803344726562 × 32768)
    floor (19916.5)     		tx = 19916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631729125976562 × 215)
    floor (0.631729125976562 × 32768)
    floor (20700.5)     		ty = 20700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19916 / 20700 ti = "15/19916/20700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19916/20700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19916 ÷ 215
    19916 ÷ 32768     		x = 0.6077880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20700 ÷ 215
    20700 ÷ 32768     		y = 0.6317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6077880859375 × 2 - 1) × π
    0.215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67725252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6317138671875 × 2 - 1) × π
    -0.263427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.827582635040649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67725252} λ = 0.67725252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827582635040649))-π/2
    2×atan(0.437104651674519)-π/2
    2×0.412078560079377-π/2
    0.824157120158753-1.57079632675     		φ = -0.74663921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67725252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.803711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74663921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.779276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19916 KachelY 20700 0.67725252 -0.74663921 38.803711 -42.779276
    Oben rechts KachelX + 1 19917 KachelY 20700 0.67744427 -0.74663921 38.814698 -42.779276
    Unten links KachelX 19916 KachelY + 1 20701 0.67725252 -0.74677994 38.803711 -42.787339
    Unten rechts KachelX + 1 19917 KachelY + 1 20701 0.67744427 -0.74677994 38.814698 -42.787339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74663921--0.74677994) × R
    0.000140730000000033 × 6371000     		dl = 896.590830000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74663921--0.74677994) × R
    0.000140730000000033 × 6371000     		dr = 896.590830000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67725252-0.67744427) × cos(-0.74663921) × R
    0.000191749999999935 × 0.733975577113781 × 6371000     		do = 896.653373543292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67725252-0.67744427) × cos(-0.74677994) × R
    0.000191749999999935 × 0.733879989426798 × 6371000     		du = 896.536599873058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74663921)-sin(-0.74677994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733975577113781-0.733879989426798)×R²
    abs(0.67744427-0.67725252)×9.5587686982368e-05×R²
    0.000191749999999935×9.5587686982368e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.5587686982368e-05×40589641000000     		ar = 803878.844633727m²