Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19914 / 20716
↖ ↑ ↗
← S 42.908160°
E 38.781738°		 ← 894.78 m → S 42.908160°
E 38.792725°		 →
↑
894.68 m
↓
↑
894.68 m
↓
S 42.916206°
E 38.781738°		 ← 894.67 m →
800 493 m²		 S 42.916206°
E 38.792725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607742309570312 y=0.632217407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607742309570312 × 215)
    floor (0.607742309570312 × 32768)
    floor (19914.5)     		tx = 19914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632217407226562 × 215)
    floor (0.632217407226562 × 32768)
    floor (20716.5)     		ty = 20716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19914 / 20716 ti = "15/19914/20716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19914/20716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19914 ÷ 215
    19914 ÷ 32768     		x = 0.60772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20716 ÷ 215
    20716 ÷ 32768     		y = 0.6322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60772705078125 × 2 - 1) × π
    0.2154541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67686902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6322021484375 × 2 - 1) × π
    -0.264404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.830650596616333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67686902} λ = 0.67686902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830650596616333))-π/2
    2×atan(0.43576568639588)-π/2
    2×0.410953828791904-π/2
    0.821907657583808-1.57079632675     		φ = -0.74888867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67686902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.781738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74888867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.908160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19914 KachelY 20716 0.67686902 -0.74888867 38.781738 -42.908160
    Oben rechts KachelX + 1 19915 KachelY 20716 0.67706077 -0.74888867 38.792725 -42.908160
    Unten links KachelX 19914 KachelY + 1 20717 0.67686902 -0.74902910 38.781738 -42.916206
    Unten rechts KachelX + 1 19915 KachelY + 1 20717 0.67706077 -0.74902910 38.792725 -42.916206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74888867--0.74902910) × R
    0.000140429999999969 × 6371000     		dl = 894.679529999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74888867--0.74902910) × R
    0.000140429999999969 × 6371000     		dr = 894.679529999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67686902-0.67706077) × cos(-0.74888867) × R
    0.000191749999999935 × 0.732445942483346 × 6371000     		do = 894.784711840595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67686902-0.67706077) × cos(-0.74902910) × R
    0.000191749999999935 × 0.732350326979891 × 6371000     		du = 894.667904188666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74888867)-sin(-0.74902910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732445942483346-0.732350326979891)×R²
    abs(0.67706077-0.67686902)×9.56155034550488e-05×R²
    0.000191749999999935×9.56155034550488e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.56155034550488e-05×40589641000000     		ar = 800493.314048923m²