Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19906 / 20670
↖ ↑ ↗
← S 42.536892°
E 38.693848°		 ← 900.16 m → S 42.536892°
E 38.704834°		 →
↑
900.09 m
↓
↑
900.09 m
↓
S 42.544987°
E 38.693848°		 ← 900.04 m →
810 173 m²		 S 42.544987°
E 38.704834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607498168945312 y=0.630813598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607498168945312 × 215)
    floor (0.607498168945312 × 32768)
    floor (19906.5)     		tx = 19906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630813598632812 × 215)
    floor (0.630813598632812 × 32768)
    floor (20670.5)     		ty = 20670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19906 / 20670 ti = "15/19906/20670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19906/20670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19906 ÷ 215
    19906 ÷ 32768     		x = 0.60748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20670 ÷ 215
    20670 ÷ 32768     		y = 0.63079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60748291015625 × 2 - 1) × π
    0.2149658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67533504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63079833984375 × 2 - 1) × π
    -0.2615966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.821830207086243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67533504} λ = 0.67533504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821830207086243))-π/2
    2×atan(0.439626310568809)-π/2
    2×0.414193753854778-π/2
    0.828387507709556-1.57079632675     		φ = -0.74240882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67533504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.693848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74240882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.536892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19906 KachelY 20670 0.67533504 -0.74240882 38.693848 -42.536892
    Oben rechts KachelX + 1 19907 KachelY 20670 0.67552679 -0.74240882 38.704834 -42.536892
    Unten links KachelX 19906 KachelY + 1 20671 0.67533504 -0.74255010 38.693848 -42.544987
    Unten rechts KachelX + 1 19907 KachelY + 1 20671 0.67552679 -0.74255010 38.704834 -42.544987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74240882--0.74255010) × R
    0.000141280000000021 × 6371000     		dl = 900.094880000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74240882--0.74255010) × R
    0.000141280000000021 × 6371000     		dr = 900.094880000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67533504-0.67552679) × cos(-0.74240882) × R
    0.000191750000000046 × 0.73684217964401 × 6371000     		do = 900.15532770889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67533504-0.67552679) × cos(-0.74255010) × R
    0.000191750000000046 × 0.736746657856887 × 6371000     		du = 900.03863454451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74240882)-sin(-0.74255010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73684217964401-0.736746657856887)×R²
    abs(0.67552679-0.67533504)×9.55217871235758e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55217871235758e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55217871235758e-05×40589641000000     		ar = 810172.685563752m²