Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19905 / 20669
↖ ↑ ↗
← S 42.528796°
E 38.682861°		 ← 900.27 m → S 42.528796°
E 38.693848°		 →
↑
900.22 m
↓
↑
900.22 m
↓
S 42.536892°
E 38.682861°		 ← 900.16 m →
810 392 m²		 S 42.536892°
E 38.693848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607467651367188 y=0.630783081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607467651367188 × 215)
    floor (0.607467651367188 × 32768)
    floor (19905.5)     		tx = 19905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630783081054688 × 215)
    floor (0.630783081054688 × 32768)
    floor (20669.5)     		ty = 20669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19905 / 20669 ti = "15/19905/20669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19905/20669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19905 ÷ 215
    19905 ÷ 32768     		x = 0.607452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20669 ÷ 215
    20669 ÷ 32768     		y = 0.630767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607452392578125 × 2 - 1) × π
    0.21490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67514329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.26153564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.821638459487762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67514329} λ = 0.67514329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821638459487762))-π/2
    2×atan(0.439710615940508)-π/2
    2×0.414264402292919-π/2
    0.828528804585838-1.57079632675     		φ = -0.74226752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67514329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.682861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74226752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.528796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19905 KachelY 20669 0.67514329 -0.74226752 38.682861 -42.528796
    Oben rechts KachelX + 1 19906 KachelY 20669 0.67533504 -0.74226752 38.693848 -42.528796
    Unten links KachelX 19905 KachelY + 1 20670 0.67514329 -0.74240882 38.682861 -42.536892
    Unten rechts KachelX + 1 19906 KachelY + 1 20670 0.67533504 -0.74240882 38.693848 -42.536892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74226752--0.74240882) × R
    0.000141300000000011 × 6371000     		dl = 900.222300000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74226752--0.74240882) × R
    0.000141300000000011 × 6371000     		dr = 900.222300000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67514329-0.67533504) × cos(-0.74226752) × R
    0.000191750000000046 × 0.736937700242949 × 6371000     		do = 900.272019421738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67514329-0.67533504) × cos(-0.74240882) × R
    0.000191750000000046 × 0.73684217964401 × 6371000     		du = 900.15532770889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74226752)-sin(-0.74240882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736937700242949-0.73684217964401)×R²
    abs(0.67533504-0.67514329)×9.55205989389141e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55205989389141e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55205989389141e-05×40589641000000     		ar = 810392.425056267m²