Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19903 / 20707
↖ ↑ ↗
← S 42.835695°
E 38.660889°		 ← 895.84 m → S 42.835695°
E 38.671875°		 →
↑
895.76 m
↓
↑
895.76 m
↓
S 42.843751°
E 38.660889°		 ← 895.72 m →
802 404 m²		 S 42.843751°
E 38.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607406616210938 y=0.631942749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607406616210938 × 215)
    floor (0.607406616210938 × 32768)
    floor (19903.5)     		tx = 19903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631942749023438 × 215)
    floor (0.631942749023438 × 32768)
    floor (20707.5)     		ty = 20707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19903 / 20707 ti = "15/19903/20707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19903/20707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19903 ÷ 215
    19903 ÷ 32768     		x = 0.607391357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20707 ÷ 215
    20707 ÷ 32768     		y = 0.631927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607391357421875 × 2 - 1) × π
    0.21478271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67475980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631927490234375 × 2 - 1) × π
    -0.26385498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.828924868230011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67475980} λ = 0.67475980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.828924868230011))-π/2
    2×atan(0.436518348869382)-π/2
    2×0.411586201421799-π/2
    0.823172402843597-1.57079632675     		φ = -0.74762392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67475980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.660889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74762392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.835695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19903 KachelY 20707 0.67475980 -0.74762392 38.660889 -42.835695
    Oben rechts KachelX + 1 19904 KachelY 20707 0.67495155 -0.74762392 38.671875 -42.835695
    Unten links KachelX 19903 KachelY + 1 20708 0.67475980 -0.74776452 38.660889 -42.843751
    Unten rechts KachelX + 1 19904 KachelY + 1 20708 0.67495155 -0.74776452 38.671875 -42.843751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74762392--0.74776452) × R
    0.000140600000000046 × 6371000     		dl = 895.762600000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74762392--0.74776452) × R
    0.000140600000000046 × 6371000     		dr = 895.762600000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67475980-0.67495155) × cos(-0.74762392) × R
    0.000191749999999935 × 0.733306430107233 × 6371000     		do = 895.835917296074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67475980-0.67495155) × cos(-0.74776452) × R
    0.000191749999999935 × 0.733210829160377 × 6371000     		du = 895.719127427058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74762392)-sin(-0.74776452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733306430107233-0.733210829160377)×R²
    abs(0.67495155-0.67475980)×9.56009468560115e-05×R²
    0.000191749999999935×9.56009468560115e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.56009468560115e-05×40589641000000     		ar = 802404.003774889m²