Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19903 / 16321
↖ ↑ ↗
← N 66.650801°
W 70.669556°		 ← 242.10 m → N 66.650801°
W 70.664062°		 →
↑
242.10 m
↓
↑
242.10 m
↓
N 66.648623°
W 70.669556°		 ← 242.12 m →
58 615 m²		 N 66.648623°
W 70.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303703308105469 y=0.249046325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303703308105469 × 216)
    floor (0.303703308105469 × 65536)
    floor (19903.5)     		tx = 19903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249046325683594 × 216)
    floor (0.249046325683594 × 65536)
    floor (16321.5)     		ty = 16321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19903 / 16321 ti = "16/19903/16321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19903/16321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19903 ÷ 216
    19903 ÷ 65536     		x = 0.303695678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16321 ÷ 216
    16321 ÷ 65536     		y = 0.249038696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303695678710938 × 2 - 1) × π
    -0.392608642578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.23341643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249038696289062 × 2 - 1) × π
    0.501922607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57683637610213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23341643} λ = -1.23341643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57683637610213))-π/2
    2×atan(4.83962082686144)-π/2
    2×1.36703612114892-π/2
    2.73407224229785-1.57079632675     		φ = 1.16327592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23341643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.669556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16327592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.650801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19903 KachelY 16321 -1.23341643 1.16327592 -70.669556 66.650801
    Oben rechts KachelX + 1 19904 KachelY 16321 -1.23332055 1.16327592 -70.664062 66.650801
    Unten links KachelX 19903 KachelY + 1 16322 -1.23341643 1.16323792 -70.669556 66.648623
    Unten rechts KachelX + 1 19904 KachelY + 1 16322 -1.23332055 1.16323792 -70.664062 66.648623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16327592-1.16323792) × R
    3.79999999999825e-05 × 6371000     		dl = 242.097999999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16327592-1.16323792) × R
    3.79999999999825e-05 × 6371000     		dr = 242.097999999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23341643--1.23332055) × cos(1.16327592) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.39633401835356 × 6371000     		do = 242.101221685461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23341643--1.23332055) × cos(1.16323792) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.396368906110271 × 6371000     		du = 242.122532923281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16327592)-sin(1.16323792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39633401835356-0.396368906110271)×R²
    abs(-1.23332055--1.23341643)×3.48877567108996e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.48877567108996e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.48877567108996e-05×40589641000000     		ar = 58614.8012786457m²