Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19902 / 20698
↖ ↑ ↗
← S 42.763146°
E 38.649902°		 ← 896.89 m → S 42.763146°
E 38.660889°		 →
↑
896.85 m
↓
↑
896.85 m
↓
S 42.771211°
E 38.649902°		 ← 896.77 m →
804 317 m²		 S 42.771211°
E 38.660889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607376098632812 y=0.631668090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607376098632812 × 215)
    floor (0.607376098632812 × 32768)
    floor (19902.5)     		tx = 19902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631668090820312 × 215)
    floor (0.631668090820312 × 32768)
    floor (20698.5)     		ty = 20698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19902 / 20698 ti = "15/19902/20698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19902/20698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19902 ÷ 215
    19902 ÷ 32768     		x = 0.60736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20698 ÷ 215
    20698 ÷ 32768     		y = 0.63165283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60736083984375 × 2 - 1) × π
    0.2147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67456805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.2633056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.827199139843689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67456805} λ = 0.67456805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827199139843689))-π/2
    2×atan(0.437272311355291)-π/2
    2×0.412219316462167-π/2
    0.824438632924333-1.57079632675     		φ = -0.74635769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67456805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.649902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74635769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.763146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19902 KachelY 20698 0.67456805 -0.74635769 38.649902 -42.763146
    Oben rechts KachelX + 1 19903 KachelY 20698 0.67475980 -0.74635769 38.660889 -42.763146
    Unten links KachelX 19902 KachelY + 1 20699 0.67456805 -0.74649846 38.649902 -42.771211
    Unten rechts KachelX + 1 19903 KachelY + 1 20699 0.67475980 -0.74649846 38.660889 -42.771211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74635769--0.74649846) × R
    0.000140770000000012 × 6371000     		dl = 896.845670000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74635769--0.74649846) × R
    0.000140770000000012 × 6371000     		dr = 896.845670000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67456805-0.67475980) × cos(-0.74635769) × R
    0.000191750000000046 × 0.734166749614995 × 6371000     		do = 896.886917374816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67456805-0.67475980) × cos(-0.74649846) × R
    0.000191750000000046 × 0.734071163845877 × 6371000     		du = 896.77014604752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74635769)-sin(-0.74649846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734166749614995-0.734071163845877)×R²
    abs(0.67475980-0.67456805)×9.55857691181672e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55857691181672e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55857691181672e-05×40589641000000     		ar = 804316.786726706m²