Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19900 / 20668
↖ ↑ ↗
← S 42.520700°
E 38.627930°		 ← 900.34 m → S 42.520700°
E 38.638916°		 →
↑
900.29 m
↓
↑
900.29 m
↓
S 42.528796°
E 38.627930°		 ← 900.23 m →
810 513 m²		 S 42.528796°
E 38.638916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607315063476562 y=0.630752563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607315063476562 × 215)
    floor (0.607315063476562 × 32768)
    floor (19900.5)     		tx = 19900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630752563476562 × 215)
    floor (0.630752563476562 × 32768)
    floor (20668.5)     		ty = 20668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19900 / 20668 ti = "15/19900/20668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19900/20668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19900 ÷ 215
    19900 ÷ 32768     		x = 0.6072998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20668 ÷ 215
    20668 ÷ 32768     		y = 0.6307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6072998046875 × 2 - 1) × π
    0.214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67418456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.261474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.821446711889282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67418456} λ = 0.67418456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821446711889282))-π/2
    2×atan(0.439794937479108)-π/2
    2×0.414335059888668-π/2
    0.828670119777337-1.57079632675     		φ = -0.74212621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67418456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.627930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74212621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.520700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19900 KachelY 20668 0.67418456 -0.74212621 38.627930 -42.520700
    Oben rechts KachelX + 1 19901 KachelY 20668 0.67437630 -0.74212621 38.638916 -42.520700
    Unten links KachelX 19900 KachelY + 1 20669 0.67418456 -0.74226752 38.627930 -42.528796
    Unten rechts KachelX + 1 19901 KachelY + 1 20669 0.67437630 -0.74226752 38.638916 -42.528796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74212621--0.74226752) × R
    0.00014130999999995 × 6371000     		dl = 900.286009999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74212621--0.74226752) × R
    0.00014130999999995 × 6371000     		dr = 900.286009999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67418456-0.67437630) × cos(-0.74212621) × R
    0.000191739999999996 × 0.737033212886984 × 6371000     		do = 900.341745030333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67418456-0.67437630) × cos(-0.74226752) × R
    0.000191739999999996 × 0.736937700242949 × 6371000     		du = 900.225069120619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74212621)-sin(-0.74226752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737033212886984-0.736937700242949)×R²
    abs(0.67437630-0.67418456)×9.55126440346232e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55126440346232e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55126440346232e-05×40589641000000     		ar = 810512.557773979m²