Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19899 / 20712
↖ ↑ ↗
← S 42.875964°
E 38.616943°		 ← 895.25 m → S 42.875964°
E 38.627930°		 →
↑
895.19 m
↓
↑
895.19 m
↓
S 42.884015°
E 38.616943°		 ← 895.14 m →
801 368 m²		 S 42.884015°
E 38.627930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607284545898438 y=0.632095336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607284545898438 × 215)
    floor (0.607284545898438 × 32768)
    floor (19899.5)     		tx = 19899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632095336914062 × 215)
    floor (0.632095336914062 × 32768)
    floor (20712.5)     		ty = 20712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19899 / 20712 ti = "15/19899/20712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19899/20712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19899 ÷ 215
    19899 ÷ 32768     		x = 0.607269287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20712 ÷ 215
    20712 ÷ 32768     		y = 0.632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607269287109375 × 2 - 1) × π
    0.21453857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67399281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.26416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.829883606222412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67399281} λ = 0.67399281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829883606222412))-π/2
    2×atan(0.436100042698991)-π/2
    2×0.411234791629404-π/2
    0.822469583258809-1.57079632675     		φ = -0.74832674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67399281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.616943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74832674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.875964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19899 KachelY 20712 0.67399281 -0.74832674 38.616943 -42.875964
    Oben rechts KachelX + 1 19900 KachelY 20712 0.67418456 -0.74832674 38.627930 -42.875964
    Unten links KachelX 19899 KachelY + 1 20713 0.67399281 -0.74846725 38.616943 -42.884015
    Unten rechts KachelX + 1 19900 KachelY + 1 20713 0.67418456 -0.74846725 38.627930 -42.884015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74832674--0.74846725) × R
    0.000140510000000038 × 6371000     		dl = 895.189210000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74832674--0.74846725) × R
    0.000140510000000038 × 6371000     		dr = 895.189210000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67399281-0.67418456) × cos(-0.74832674) × R
    0.000191750000000046 × 0.732828402922542 × 6371000     		do = 895.251940525207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67399281-0.67418456) × cos(-0.74846725) × R
    0.000191750000000046 × 0.732732790787743 × 6371000     		du = 895.13513698856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74832674)-sin(-0.74846725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732828402922542-0.732732790787743)×R²
    abs(0.67418456-0.67399281)×9.56121347996941e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56121347996941e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56121347996941e-05×40589641000000     		ar = 801367.598075554m²