Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19898 / 16326
↖ ↑ ↗
← N 66.639912°
W 70.697022°		 ← 242.21 m → N 66.639912°
W 70.691528°		 →
↑
242.16 m
↓
↑
242.16 m
↓
N 66.637734°
W 70.697022°		 ← 242.23 m →
58 656 m²		 N 66.637734°
W 70.691528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303627014160156 y=0.249122619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303627014160156 × 216)
    floor (0.303627014160156 × 65536)
    floor (19898.5)     		tx = 19898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249122619628906 × 216)
    floor (0.249122619628906 × 65536)
    floor (16326.5)     		ty = 16326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19898 / 16326 ti = "16/19898/16326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19898/16326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19898 ÷ 216
    19898 ÷ 65536     		x = 0.303619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16326 ÷ 216
    16326 ÷ 65536     		y = 0.249114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.39276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.23389580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249114990234375 × 2 - 1) × π
    0.50177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57635700710593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23389580} λ = -1.23389580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57635700710593))-π/2
    2×atan(4.83730141865429)-π/2
    2×1.36694110512094-π/2
    2.73388221024187-1.57079632675     		φ = 1.16308588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23389580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.697022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16308588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.639912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19898 KachelY 16326 -1.23389580 1.16308588 -70.697022 66.639912
    Oben rechts KachelX + 1 19899 KachelY 16326 -1.23379992 1.16308588 -70.691528 66.639912
    Unten links KachelX 19898 KachelY + 1 16327 -1.23389580 1.16304787 -70.697022 66.637734
    Unten rechts KachelX + 1 19899 KachelY + 1 16327 -1.23379992 1.16304787 -70.691528 66.637734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16308588-1.16304787) × R
    3.80099999999217e-05 × 6371000     		dl = 242.161709999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16308588-1.16304787) × R
    3.80099999999217e-05 × 6371000     		dr = 242.161709999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23389580--1.23379992) × cos(1.16308588) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.396508488134287 × 6371000     		do = 242.207796809233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23389580--1.23379992) × cos(1.16304787) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.396543382208267 × 6371000     		du = 242.229111905967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16308588)-sin(1.16304787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396508488134287-0.396543382208267)×R²
    abs(-1.23379992--1.23389580)×3.48940739807735e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.48940739807735e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.48940739807735e-05×40589641000000     		ar = 58656.0351077214m²