Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19897 / 20662
↖ ↑ ↗
← S 42.472097°
E 38.594971°		 ← 901.09 m → S 42.472097°
E 38.605957°		 →
↑
901.05 m
↓
↑
901.05 m
↓
S 42.480200°
E 38.594971°		 ← 900.97 m →
811 874 m²		 S 42.480200°
E 38.605957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607223510742188 y=0.630569458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607223510742188 × 215)
    floor (0.607223510742188 × 32768)
    floor (19897.5)     		tx = 19897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630569458007812 × 215)
    floor (0.630569458007812 × 32768)
    floor (20662.5)     		ty = 20662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19897 / 20662 ti = "15/19897/20662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19897/20662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19897 ÷ 215
    19897 ÷ 32768     		x = 0.607208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20662 ÷ 215
    20662 ÷ 32768     		y = 0.63055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607208251953125 × 2 - 1) × π
    0.21441650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67360931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.2611083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.820296226298401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67360931} λ = 0.67360931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820296226298401))-π/2
    2×atan(0.440301206389322)-π/2
    2×0.414759197760334-π/2
    0.829518395520668-1.57079632675     		φ = -0.74127793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67360931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.594971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74127793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.472097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19897 KachelY 20662 0.67360931 -0.74127793 38.594971 -42.472097
    Oben rechts KachelX + 1 19898 KachelY 20662 0.67380106 -0.74127793 38.605957 -42.472097
    Unten links KachelX 19897 KachelY + 1 20663 0.67360931 -0.74141936 38.594971 -42.480200
    Unten rechts KachelX + 1 19898 KachelY + 1 20663 0.67380106 -0.74141936 38.605957 -42.480200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74127793--0.74141936) × R
    0.000141429999999998 × 6371000     		dl = 901.050529999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74127793--0.74141936) × R
    0.000141429999999998 × 6371000     		dr = 901.050529999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67360931-0.67380106) × cos(-0.74127793) × R
    0.000191749999999935 × 0.737606263214923 × 6371000     		do = 901.088762188876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67360931-0.67380106) × cos(-0.74141936) × R
    0.000191749999999935 × 0.737510757907778 × 6371000     		du = 900.972089157084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74127793)-sin(-0.74141936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737606263214923-0.737510757907778)×R²
    abs(0.67380106-0.67360931)×9.55053071454159e-05×R²
    0.000191749999999935×9.55053071454159e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.55053071454159e-05×40589641000000     		ar = 811873.943952654m²