Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19896 / 20696
↖ ↑ ↗
← S 42.747012°
E 38.583985°		 ← 897.07 m → S 42.747012°
E 38.594971°		 →
↑
897.04 m
↓
↑
897.04 m
↓
S 42.755080°
E 38.583985°		 ← 896.96 m →
804 656 m²		 S 42.755080°
E 38.594971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607192993164062 y=0.631607055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607192993164062 × 215)
    floor (0.607192993164062 × 32768)
    floor (19896.5)     		tx = 19896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631607055664062 × 215)
    floor (0.631607055664062 × 32768)
    floor (20696.5)     		ty = 20696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19896 / 20696 ti = "15/19896/20696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19896/20696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19896 ÷ 215
    19896 ÷ 32768     		x = 0.607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20696 ÷ 215
    20696 ÷ 32768     		y = 0.631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607177734375 × 2 - 1) × π
    0.21435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67341757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.26318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826815644646729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67341757} λ = 0.67341757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826815644646729))-π/2
    2×atan(0.437440035345076)-π/2
    2×0.412360109500076-π/2
    0.824720219000152-1.57079632675     		φ = -0.74607611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67341757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.583985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74607611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.747012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19896 KachelY 20696 0.67341757 -0.74607611 38.583985 -42.747012
    Oben rechts KachelX + 1 19897 KachelY 20696 0.67360931 -0.74607611 38.594971 -42.747012
    Unten links KachelX 19896 KachelY + 1 20697 0.67341757 -0.74621691 38.583985 -42.755080
    Unten rechts KachelX + 1 19897 KachelY + 1 20697 0.67360931 -0.74621691 38.594971 -42.755080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74607611--0.74621691) × R
    0.000140800000000052 × 6371000     		dl = 897.036800000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74607611--0.74621691) × R
    0.000140800000000052 × 6371000     		dr = 897.036800000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67341757-0.67360931) × cos(-0.74607611) × R
    0.000191739999999996 × 0.734357904656667 × 6371000     		do = 897.073653934217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67341757-0.67360931) × cos(-0.74621691) × R
    0.000191739999999996 × 0.734262327624382 × 6371000     		du = 896.956899369392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74607611)-sin(-0.74621691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734357904656667-0.734262327624382)×R²
    abs(0.67360931-0.67341757)×9.55770322846883e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55770322846883e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55770322846883e-05×40589641000000     		ar = 804655.714648069m²