Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19896 / 16328
↖ ↑ ↗
← N 66.635556°
W 70.708008°		 ← 242.23 m → N 66.635556°
W 70.702515°		 →
↑
242.29 m
↓
↑
242.29 m
↓
N 66.633377°
W 70.708008°		 ← 242.25 m →
58 691 m²		 N 66.633377°
W 70.702515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303596496582031 y=0.249153137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303596496582031 × 216)
    floor (0.303596496582031 × 65536)
    floor (19896.5)     		tx = 19896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249153137207031 × 216)
    floor (0.249153137207031 × 65536)
    floor (16328.5)     		ty = 16328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19896 / 16328 ti = "16/19896/16328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19896/16328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19896 ÷ 216
    19896 ÷ 65536     		x = 0.3035888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16328 ÷ 216
    16328 ÷ 65536     		y = 0.2491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3035888671875 × 2 - 1) × π
    -0.392822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.23408754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2491455078125 × 2 - 1) × π
    0.501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.57616525950745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23408754} λ = -1.23408754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57616525950745))-π/2
    2×atan(4.83637396664532)-π/2
    2×1.36690308700002-π/2
    2.73380617400003-1.57079632675     		φ = 1.16300985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23408754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16300985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.635556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19896 KachelY 16328 -1.23408754 1.16300985 -70.708008 66.635556
    Oben rechts KachelX + 1 19897 KachelY 16328 -1.23399167 1.16300985 -70.702515 66.635556
    Unten links KachelX 19896 KachelY + 1 16329 -1.23408754 1.16297182 -70.708008 66.633377
    Unten rechts KachelX + 1 19897 KachelY + 1 16329 -1.23399167 1.16297182 -70.702515 66.633377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16300985-1.16297182) × R
    3.80299999998002e-05 × 6371000     		dl = 242.289129998727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16300985-1.16297182) × R
    3.80299999998002e-05 × 6371000     		dr = 242.289129998727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23408754--1.23399167) × cos(1.16300985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396578284889347 × 6371000     		do = 242.225166257984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23408754--1.23399167) × cos(1.16297182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396613196177023 × 6371000     		du = 242.246489645531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16300985)-sin(1.16297182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396578284889347-0.396613196177023)×R²
    abs(-1.23399167--1.23408754)×3.49112876759095e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49112876759095e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49112876759095e-05×40589641000000     		ar = 58691.1080160925m²