Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19894 / 20714
↖ ↑ ↗
← S 42.892064°
E 38.562012°		 ← 895.02 m → S 42.892064°
E 38.572998°		 →
↑
895 m
↓
↑
895 m
↓
S 42.900113°
E 38.562012°		 ← 894.90 m →
800 987 m²		 S 42.900113°
E 38.572998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607131958007812 y=0.632156372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607131958007812 × 215)
    floor (0.607131958007812 × 32768)
    floor (19894.5)     		tx = 19894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632156372070312 × 215)
    floor (0.632156372070312 × 32768)
    floor (20714.5)     		ty = 20714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19894 / 20714 ti = "15/19894/20714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19894/20714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19894 ÷ 215
    19894 ÷ 32768     		x = 0.60711669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20714 ÷ 215
    20714 ÷ 32768     		y = 0.63214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60711669921875 × 2 - 1) × π
    0.2142333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67303407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63214111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2642822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.830267101419373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67303407} λ = 0.67303407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830267101419373))-π/2
    2×atan(0.435932832491427)-π/2
    2×0.411094291876827-π/2
    0.822188583753654-1.57079632675     		φ = -0.74860774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67303407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.562012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74860774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.892064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19894 KachelY 20714 0.67303407 -0.74860774 38.562012 -42.892064
    Oben rechts KachelX + 1 19895 KachelY 20714 0.67322582 -0.74860774 38.572998 -42.892064
    Unten links KachelX 19894 KachelY + 1 20715 0.67303407 -0.74874822 38.562012 -42.900113
    Unten rechts KachelX + 1 19895 KachelY + 1 20715 0.67322582 -0.74874822 38.572998 -42.900113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74860774--0.74874822) × R
    0.000140479999999998 × 6371000     		dl = 894.99807999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74860774--0.74874822) × R
    0.000140479999999998 × 6371000     		dr = 894.99807999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67303407-0.67322582) × cos(-0.74860774) × R
    0.000191749999999935 × 0.732637177798944 × 6371000     		do = 895.018332408115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67303407-0.67322582) × cos(-0.74874822) × R
    0.000191749999999935 × 0.732541557156985 × 6371000     		du = 894.901518478788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74860774)-sin(-0.74874822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732637177798944-0.732541557156985)×R²
    abs(0.67322582-0.67303407)×9.56206419583383e-05×R²
    0.000191749999999935×9.56206419583383e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.56206419583383e-05×40589641000000     		ar = 800987.416266306m²