Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19890 / 16310
↖ ↑ ↗
← N 66.674737°
W 70.740967°		 ← 241.87 m → N 66.674737°
W 70.735473°		 →
↑
241.84 m
↓
↑
241.84 m
↓
N 66.672562°
W 70.740967°		 ← 241.89 m →
58 496 m²		 N 66.672562°
W 70.735473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303504943847656 y=0.248878479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303504943847656 × 216)
    floor (0.303504943847656 × 65536)
    floor (19890.5)     		tx = 19890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248878479003906 × 216)
    floor (0.248878479003906 × 65536)
    floor (16310.5)     		ty = 16310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19890 / 16310 ti = "16/19890/16310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19890/16310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19890 ÷ 216
    19890 ÷ 65536     		x = 0.303497314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16310 ÷ 216
    16310 ÷ 65536     		y = 0.248870849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.39300537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.23466279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248870849609375 × 2 - 1) × π
    0.50225830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57789098789377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23466279} λ = -1.23466279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57789098789377))-π/2
    2×atan(4.84472744032661)-π/2
    2×1.36724500926577-π/2
    2.73449001853154-1.57079632675     		φ = 1.16369369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23466279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16369369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.674737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19890 KachelY 16310 -1.23466279 1.16369369 -70.740967 66.674737
    Oben rechts KachelX + 1 19891 KachelY 16310 -1.23456691 1.16369369 -70.735473 66.674737
    Unten links KachelX 19890 KachelY + 1 16311 -1.23466279 1.16365573 -70.740967 66.672562
    Unten rechts KachelX + 1 19891 KachelY + 1 16311 -1.23456691 1.16365573 -70.735473 66.672562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16369369-1.16365573) × R
    3.79599999997815e-05 × 6371000     		dl = 241.843159998608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16369369-1.16365573) × R
    3.79599999997815e-05 × 6371000     		dr = 241.843159998608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23466279--1.23456691) × cos(1.16369369) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.395950426471151 × 6371000     		do = 241.866904016375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23466279--1.23456691) × cos(1.16365573) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.395985283786725 × 6371000     		du = 241.888196659183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16369369)-sin(1.16365573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395950426471151-0.395985283786725)×R²
    abs(-1.23456691--1.23466279)×3.48573155746212e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.48573155746212e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.48573155746212e-05×40589641000000     		ar = 58496.431113346m²