Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19887 / 16305
↖ ↑ ↗
← N 66.685610°
W 70.757446°		 ← 241.76 m → N 66.685610°
W 70.751953°		 →
↑
241.78 m
↓
↑
241.78 m
↓
N 66.683436°
W 70.757446°		 ← 241.78 m →
58 455 m²		 N 66.683436°
W 70.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303459167480469 y=0.248802185058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303459167480469 × 216)
    floor (0.303459167480469 × 65536)
    floor (19887.5)     		tx = 19887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248802185058594 × 216)
    floor (0.248802185058594 × 65536)
    floor (16305.5)     		ty = 16305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19887 / 16305 ti = "16/19887/16305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19887/16305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19887 ÷ 216
    19887 ÷ 65536     		x = 0.303451538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16305 ÷ 216
    16305 ÷ 65536     		y = 0.248794555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.303451538085938 × 2 - 1) × π
    -0.393096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.23495041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248794555664062 × 2 - 1) × π
    0.502410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57837035688997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23495041} λ = -1.23495041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57837035688997))-π/2
    2×atan(4.84705040919169)-π/2
    2×1.36733989155936-π/2
    2.73467978311871-1.57079632675     		φ = 1.16388346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23495041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16388346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.685610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19887 KachelY 16305 -1.23495041 1.16388346 -70.757446 66.685610
    Oben rechts KachelX + 1 19888 KachelY 16305 -1.23485453 1.16388346 -70.751953 66.685610
    Unten links KachelX 19887 KachelY + 1 16306 -1.23495041 1.16384551 -70.757446 66.683436
    Unten rechts KachelX + 1 19888 KachelY + 1 16306 -1.23485453 1.16384551 -70.751953 66.683436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16388346-1.16384551) × R
    3.79500000000643e-05 × 6371000     		dl = 241.77945000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16388346-1.16384551) × R
    3.79500000000643e-05 × 6371000     		dr = 241.77945000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23495041--1.23485453) × cos(1.16388346) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.395776158886451 × 6371000     		do = 241.760452404345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23495041--1.23485453) × cos(1.16384551) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.3958110098705 × 6371000     		du = 241.781741179531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16388346)-sin(1.16384551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395776158886451-0.3958110098705)×R²
    abs(-1.23485453--1.23495041)×3.48509840487621e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.48509840487621e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.48509840487621e-05×40589641000000     		ar = 58455.2828154237m²