Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1988 / 2351
↖ ↑ ↗
← S 25.720735°
W  5.273438°		 ← 8 804.68 m → S 25.720735°
W  5.185547°		 →
↑
8 801.79 m
↓
↑
8 801.79 m
↓
S 25.799891°
W  5.273438°		 ← 8 798.81 m →
77 471 138 m²		 S 25.799891°
W  5.185547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4854736328125 y=0.5740966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4854736328125 × 212)
    floor (0.4854736328125 × 4096)
    floor (1988.5)     		tx = 1988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5740966796875 × 212)
    floor (0.5740966796875 × 4096)
    floor (2351.5)     		ty = 2351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1988 / 2351 ti = "12/1988/2351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1988/2351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1988 ÷ 212
    1988 ÷ 4096     		x = 0.4853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2351 ÷ 212
    2351 ÷ 4096     		y = 0.573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4853515625 × 2 - 1) × π
    -0.029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09203885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.14794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.464796178716064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09203885} λ = -0.09203885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464796178716064))-π/2
    2×atan(0.628263145541497)-π/2
    2×0.560942406338994-π/2
    1.12188481267799-1.57079632675     		φ = -0.44891151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09203885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.273438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44891151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.720735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1988 KachelY 2351 -0.09203885 -0.44891151 -5.273438 -25.720735
    Oben rechts KachelX + 1 1989 KachelY 2351 -0.09050487 -0.44891151 -5.185547 -25.720735
    Unten links KachelX 1988 KachelY + 1 2352 -0.09203885 -0.45029305 -5.273438 -25.799891
    Unten rechts KachelX + 1 1989 KachelY + 1 2352 -0.09050487 -0.45029305 -5.185547 -25.799891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44891151--0.45029305) × R
    0.00138153999999996 × 6371000     		dl = 8801.79133999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44891151--0.45029305) × R
    0.00138153999999996 × 6371000     		dr = 8801.79133999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09203885--0.09050487) × cos(-0.44891151) × R
    0.00153398 × 0.90092002446388 × 6371000     		do = 8804.67930873879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09203885--0.09050487) × cos(-0.45029305) × R
    0.00153398 × 0.900319597040296 × 6371000     		du = 8798.81133958585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44891151)-sin(-0.45029305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90092002446388-0.900319597040296)×R²
    abs(-0.09050487--0.09203885)×0.000600427423583905×R²
    0.00153398×0.000600427423583905×6371000²
    0.00153398×0.000600427423583905×40589641000000     		ar = 77471138.0932213m²