Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19872 / 20689
↖ ↑ ↗
← S 42.690511°
E 38.320312°		 ← 897.94 m → S 42.690511°
E 38.331299°		 →
↑
897.87 m
↓
↑
897.87 m
↓
S 42.698586°
E 38.320312°		 ← 897.82 m →
806 174 m²		 S 42.698586°
E 38.331299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606460571289062 y=0.631393432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606460571289062 × 215)
    floor (0.606460571289062 × 32768)
    floor (19872.5)     		tx = 19872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631393432617188 × 215)
    floor (0.631393432617188 × 32768)
    floor (20689.5)     		ty = 20689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19872 / 20689 ti = "15/19872/20689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19872/20689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19872 ÷ 215
    19872 ÷ 32768     		x = 0.6064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20689 ÷ 215
    20689 ÷ 32768     		y = 0.631378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6064453125 × 2 - 1) × π
    0.212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66881562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.26275634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.825473411457367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66881562} λ = 0.66881562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825473411457367))-π/2
    2×atan(0.438027576099013)-π/2
    2×0.412853173768315-π/2
    0.825706347536629-1.57079632675     		φ = -0.74508998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66881562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.320312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74508998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.690511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19872 KachelY 20689 0.66881562 -0.74508998 38.320312 -42.690511
    Oben rechts KachelX + 1 19873 KachelY 20689 0.66900737 -0.74508998 38.331299 -42.690511
    Unten links KachelX 19872 KachelY + 1 20690 0.66881562 -0.74523091 38.320312 -42.698586
    Unten rechts KachelX + 1 19873 KachelY + 1 20690 0.66900737 -0.74523091 38.331299 -42.698586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74508998--0.74523091) × R
    0.000140929999999928 × 6371000     		dl = 897.865029999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74508998--0.74523091) × R
    0.000140929999999928 × 6371000     		dr = 897.865029999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66881562-0.66900737) × cos(-0.74508998) × R
    0.000191749999999935 × 0.735026895502136 × 6371000     		do = 897.937705350753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66881562-0.66900737) × cos(-0.74523091) × R
    0.000191749999999935 × 0.734931332314747 × 6371000     		du = 897.820961610184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74508998)-sin(-0.74523091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735026895502136-0.734931332314747)×R²
    abs(0.66900737-0.66881562)×9.55631873887919e-05×R²
    0.000191749999999935×9.55631873887919e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.55631873887919e-05×40589641000000     		ar = 806174.456026296m²