Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19871 / 4833
↖ ↑ ↗
← N 77.539726°
E 38.309326°		 ← 263.57 m → N 77.539726°
E 38.320312°		 →
↑
263.63 m
↓
↑
263.63 m
↓
N 77.537355°
E 38.309326°		 ← 263.62 m →
69 492 m²		 N 77.537355°
E 38.320312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606430053710938 y=0.147506713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606430053710938 × 215)
    floor (0.606430053710938 × 32768)
    floor (19871.5)     		tx = 19871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147506713867188 × 215)
    floor (0.147506713867188 × 32768)
    floor (4833.5)     		ty = 4833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19871 / 4833 ti = "15/19871/4833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19871/4833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19871 ÷ 215
    19871 ÷ 32768     		x = 0.606414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4833 ÷ 215
    4833 ÷ 32768     		y = 0.147491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606414794921875 × 2 - 1) × π
    0.21282958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66862388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147491455078125 × 2 - 1) × π
    0.70501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21487651004507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66862388} λ = 0.66862388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21487651004507))-π/2
    2×atan(9.16027783946237)-π/2
    2×1.46205992104814-π/2
    2.92411984209628-1.57079632675     		φ = 1.35332352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66862388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.309326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35332352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.539726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19871 KachelY 4833 0.66862388 1.35332352 38.309326 77.539726
    Oben rechts KachelX + 1 19872 KachelY 4833 0.66881562 1.35332352 38.320312 77.539726
    Unten links KachelX 19871 KachelY + 1 4834 0.66862388 1.35328214 38.309326 77.537355
    Unten rechts KachelX + 1 19872 KachelY + 1 4834 0.66881562 1.35328214 38.320312 77.537355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35332352-1.35328214) × R
    4.13800000000908e-05 × 6371000     		dl = 263.631980000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35332352-1.35328214) × R
    4.13800000000908e-05 × 6371000     		dr = 263.631980000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66862388-0.66881562) × cos(1.35332352) × R
    0.000191740000000107 × 0.215762647419482 × 6371000     		do = 263.570372533431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66862388-0.66881562) × cos(1.35328214) × R
    0.000191740000000107 × 0.215803052563637 × 6371000     		du = 263.61973046922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35332352)-sin(1.35328214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215762647419482-0.215803052563637)×R²
    abs(0.66881562-0.66862388)×4.0405144154404e-05×R²
    0.000191740000000107×4.0405144154404e-05×6371000²
    0.000191740000000107×4.0405144154404e-05×40589641000000     		ar = 69492.0853553778m²