Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1987 / 2729
↖ ↑ ↗
← N 75.968227°
W136.340332°		 ← 592.40 m → N 75.968227°
W136.318359°		 →
↑
592.50 m
↓
↑
592.50 m
↓
N 75.962898°
W136.340332°		 ← 592.62 m →
351 062 m²		 N 75.962898°
W136.318359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121307373046875 y=0.166595458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121307373046875 × 214)
    floor (0.121307373046875 × 16384)
    floor (1987.5)     		tx = 1987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166595458984375 × 214)
    floor (0.166595458984375 × 16384)
    floor (2729.5)     		ty = 2729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1987 / 2729 ti = "14/1987/2729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1987/2729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1987 ÷ 214
    1987 ÷ 16384     		x = 0.12127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2729 ÷ 214
    2729 ÷ 16384     		y = 0.16656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.7574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.37958770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16656494140625 × 2 - 1) × π
    0.6668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09503426099493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37958770} λ = -2.37958770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09503426099493))-π/2
    2×atan(8.12571936067349)-π/2
    2×1.4483460026646-π/2
    2.8966920053292-1.57079632675     		φ = 1.32589568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37958770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.340332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32589568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.968227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1987 KachelY 2729 -2.37958770 1.32589568 -136.340332 75.968227
    Oben rechts KachelX + 1 1988 KachelY 2729 -2.37920420 1.32589568 -136.318359 75.968227
    Unten links KachelX 1987 KachelY + 1 2730 -2.37958770 1.32580268 -136.340332 75.962898
    Unten rechts KachelX + 1 1988 KachelY + 1 2730 -2.37920420 1.32580268 -136.318359 75.962898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32589568-1.32580268) × R
    9.29999999998987e-05 × 6371000     		dl = 592.502999999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32589568-1.32580268) × R
    9.29999999998987e-05 × 6371000     		dr = 592.502999999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37958770--2.37920420) × cos(1.32589568) × R
    0.00038349999999987 × 0.24245993733896 × 6371000     		do = 592.397152011428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37958770--2.37920420) × cos(1.32580268) × R
    0.00038349999999987 × 0.242550161302273 × 6371000     		du = 592.617594281175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32589568)-sin(1.32580268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24245993733896-0.242550161302273)×R²
    abs(-2.37920420--2.37958770)×9.02239633125967e-05×R²
    0.00038349999999987×9.02239633125967e-05×6371000²
    0.00038349999999987×9.02239633125967e-05×40589641000000     		ar = 351062.396364349m²