Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1987 / 1467
↖ ↑ ↗
← N 74.833435°
W 92.680664°		 ← 1 278.43 m → N 74.833435°
W 92.636719°		 →
↑
1 278.91 m
↓
↑
1 278.91 m
↓
N 74.821934°
W 92.680664°		 ← 1 279.38 m →
1 635 613 m²		 N 74.821934°
W 92.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.24261474609375 y=0.17913818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.24261474609375 × 213)
    floor (0.24261474609375 × 8192)
    floor (1987.5)     		tx = 1987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17913818359375 × 213)
    floor (0.17913818359375 × 8192)
    floor (1467.5)     		ty = 1467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1987 / 1467 ti = "13/1987/1467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1987/1467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1987 ÷ 213
    1987 ÷ 8192     		x = 0.2425537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1467 ÷ 213
    1467 ÷ 8192     		y = 0.1790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.514892578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.61758274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1790771484375 × 2 - 1) × π
    0.641845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.01641774561804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61758274} λ = -1.61758274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01641774561804))-π/2
    2×atan(7.5113690463844)-π/2
    2×1.43844308512565-π/2
    2.8768861702513-1.57079632675     		φ = 1.30608984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61758274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30608984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.833435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1987 KachelY 1467 -1.61758274 1.30608984 -92.680664 74.833435
    Oben rechts KachelX + 1 1988 KachelY 1467 -1.61681575 1.30608984 -92.636719 74.833435
    Unten links KachelX 1987 KachelY + 1 1468 -1.61758274 1.30588910 -92.680664 74.821934
    Unten rechts KachelX + 1 1988 KachelY + 1 1468 -1.61681575 1.30588910 -92.636719 74.821934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30608984-1.30588910) × R
    0.000200740000000144 × 6371000     		dl = 1278.91454000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30608984-1.30588910) × R
    0.000200740000000144 × 6371000     		dr = 1278.91454000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61758274--1.61681575) × cos(1.30608984) × R
    0.000766990000000023 × 0.261625989478695 × 6371000     		do = 1278.43364207729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61758274--1.61681575) × cos(1.30588910) × R
    0.000766990000000023 × 0.261819732298016 × 6371000     		du = 1279.38036506389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30608984)-sin(1.30588910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.261625989478695-0.261819732298016)×R²
    abs(-1.61681575--1.61758274)×0.000193742819320886×R²
    0.000766990000000023×0.000193742819320886×6371000²
    0.000766990000000023×0.000193742819320886×40589641000000     		ar = 1635612.7676697m²