Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 1983 / 2727
↖ ↑ ↗
← N 75.978877°
W136.428223°		 ← 591.96 m → N 75.978877°
W136.406250°		 →
↑
592.06 m
↓
↑
592.06 m
↓
N 75.973553°
W136.428223°		 ← 592.18 m →
350 537 m²		 N 75.973553°
W136.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121063232421875 y=0.166473388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121063232421875 × 214)
    floor (0.121063232421875 × 16384)
    floor (1983.5)     		tx = 1983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166473388671875 × 214)
    floor (0.166473388671875 × 16384)
    floor (2727.5)     		ty = 2727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1983 / 2727 ti = "14/1983/2727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1983/2727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1983 ÷ 214
    1983 ÷ 16384     		x = 0.12103271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2727 ÷ 214
    2727 ÷ 16384     		y = 0.16644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12103271484375 × 2 - 1) × π
    -0.7579345703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.38112168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16644287109375 × 2 - 1) × π
    0.6671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09580125138885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38112168} λ = -2.38112168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09580125138885))-π/2
    2×atan(8.13195410005378)-π/2
    2×1.44843895030037-π/2
    2.89687790060073-1.57079632675     		φ = 1.32608157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38112168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32608157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.978877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1983 KachelY 2727 -2.38112168 1.32608157 -136.428223 75.978877
    Oben rechts KachelX + 1 1984 KachelY 2727 -2.38073818 1.32608157 -136.406250 75.978877
    Unten links KachelX 1983 KachelY + 1 2728 -2.38112168 1.32598864 -136.428223 75.973553
    Unten rechts KachelX + 1 1984 KachelY + 1 2728 -2.38073818 1.32598864 -136.406250 75.973553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32608157-1.32598864) × R
    9.29299999998801e-05 × 6371000     		dl = 592.057029999236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32608157-1.32598864) × R
    9.29299999998801e-05 × 6371000     		dr = 592.057029999236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38112168--2.38073818) × cos(1.32608157) × R
    0.000383500000000314 × 0.242279589844721 × 6371000     		do = 591.95651285691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38112168--2.38073818) × cos(1.32598864) × R
    0.000383500000000314 × 0.24236975008597 × 6371000     		du = 592.176799435908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32608157)-sin(1.32598864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242279589844721-0.24236975008597)×R²
    abs(-2.38073818--2.38112168)×9.01602412490266e-05×R²
    0.000383500000000314×9.01602412490266e-05×6371000²
    0.000383500000000314×9.01602412490266e-05×40589641000000     		ar = 350537.226251299m²