Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19828 / 14508
↖ ↑ ↗
← N 70.296526°
W 71.081543°		 ← 205.93 m → N 70.296526°
W 71.076050°		 →
↑
205.91 m
↓
↑
205.91 m
↓
N 70.294674°
W 71.081543°		 ← 205.95 m →
42 405 m²		 N 70.294674°
W 71.076050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.302558898925781 y=0.221382141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.302558898925781 × 216)
    floor (0.302558898925781 × 65536)
    floor (19828.5)     		tx = 19828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221382141113281 × 216)
    floor (0.221382141113281 × 65536)
    floor (14508.5)     		ty = 14508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19828 / 14508 ti = "16/19828/14508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19828/14508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19828 ÷ 216
    19828 ÷ 65536     		x = 0.30255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14508 ÷ 216
    14508 ÷ 65536     		y = 0.22137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.3948974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.24060696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22137451171875 × 2 - 1) × π
    0.5572509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.75065557412445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.24060696} λ = -1.24060696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75065557412445))-π/2
    2×atan(5.75837648148607)-π/2
    2×1.39885108008409-π/2
    2.79770216016819-1.57079632675     		φ = 1.22690583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.24060696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22690583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.296526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19828 KachelY 14508 -1.24060696 1.22690583 -71.081543 70.296526
    Oben rechts KachelX + 1 19829 KachelY 14508 -1.24051109 1.22690583 -71.076050 70.296526
    Unten links KachelX 19828 KachelY + 1 14509 -1.24060696 1.22687351 -71.081543 70.294674
    Unten rechts KachelX + 1 19829 KachelY + 1 14509 -1.24051109 1.22687351 -71.076050 70.294674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22690583-1.22687351) × R
    3.23200000000856e-05 × 6371000     		dl = 205.910720000545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22690583-1.22687351) × R
    3.23200000000856e-05 × 6371000     		dr = 205.910720000545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.24060696--1.24051109) × cos(1.22690583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337152343071512 × 6371000     		do = 205.928527774919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.24060696--1.24051109) × cos(1.22687351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337182770562764 × 6371000     		du = 205.947112514448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22690583)-sin(1.22687351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337152343071512-0.337182770562764)×R²
    abs(-1.24051109--1.24060696)×3.04274912513169e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04274912513169e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04274912513169e-05×40589641000000     		ar = 42404.8048251827m²