Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19824 / 4528
↖ ↑ ↗
← N 78.242436°
E 37.792969°		 ← 248.93 m → N 78.242436°
E 37.803955°		 →
↑
248.91 m
↓
↑
248.91 m
↓
N 78.240197°
E 37.792969°		 ← 248.98 m →
61 969 m²		 N 78.240197°
E 37.803955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604995727539062 y=0.138198852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604995727539062 × 215)
    floor (0.604995727539062 × 32768)
    floor (19824.5)     		tx = 19824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138198852539062 × 215)
    floor (0.138198852539062 × 32768)
    floor (4528.5)     		ty = 4528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19824 / 4528 ti = "15/19824/4528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19824/4528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19824 ÷ 215
    19824 ÷ 32768     		x = 0.60498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4528 ÷ 215
    4528 ÷ 32768     		y = 0.13818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60498046875 × 2 - 1) × π
    0.2099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65961174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13818359375 × 2 - 1) × π
    0.7236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27335952758154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65961174} λ = 0.65961174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27335952758154))-π/2
    2×atan(9.71197371221944)-π/2
    2×1.46819222554558-π/2
    2.93638445109115-1.57079632675     		φ = 1.36558812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65961174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.792969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36558812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.242436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19824 KachelY 4528 0.65961174 1.36558812 37.792969 78.242436
    Oben rechts KachelX + 1 19825 KachelY 4528 0.65980349 1.36558812 37.803955 78.242436
    Unten links KachelX 19824 KachelY + 1 4529 0.65961174 1.36554905 37.792969 78.240197
    Unten rechts KachelX + 1 19825 KachelY + 1 4529 0.65980349 1.36554905 37.803955 78.240197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36558812-1.36554905) × R
    3.90699999999189e-05 × 6371000     		dl = 248.914969999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36558812-1.36554905) × R
    3.90699999999189e-05 × 6371000     		dr = 248.914969999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65961174-0.65980349) × cos(1.36558812) × R
    0.000191750000000046 × 0.203771002640575 × 6371000     		do = 248.93465483764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65961174-0.65980349) × cos(1.36554905) × R
    0.000191750000000046 × 0.203809252740931 × 6371000     		du = 248.981382661552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36558812)-sin(1.36554905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203771002640575-0.203809252740931)×R²
    abs(0.65980349-0.65961174)×3.82501003561853e-05×R²
    0.000191750000000046×3.82501003561853e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.82501003561853e-05×40589641000000     		ar = 61969.3777759473m²