Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1982 / 2403
↖ ↑ ↗
← S 29.764377°
W  5.800781°		 ← 8 483.68 m → S 29.764377°
W  5.712891°		 →
↑
8 480.50 m
↓
↑
8 480.50 m
↓
S 29.840644°
W  5.800781°		 ← 8 477.21 m →
71 918 443 m²		 S 29.840644°
W  5.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4840087890625 y=0.5867919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4840087890625 × 212)
    floor (0.4840087890625 × 4096)
    floor (1982.5)     		tx = 1982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5867919921875 × 212)
    floor (0.5867919921875 × 4096)
    floor (2403.5)     		ty = 2403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1982 / 2403 ti = "12/1982/2403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1982/2403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1982 ÷ 212
    1982 ÷ 4096     		x = 0.48388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2403 ÷ 212
    2403 ÷ 4096     		y = 0.586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48388671875 × 2 - 1) × π
    -0.0322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10124273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586669921875 × 2 - 1) × π
    -0.17333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.544563179683838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10124273} λ = -0.10124273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544563179683838))-π/2
    2×atan(0.580095125339407)-π/2
    2×0.525654970902852-π/2
    1.0513099418057-1.57079632675     		φ = -0.51948638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10124273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51948638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.764377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1982 KachelY 2403 -0.10124273 -0.51948638 -5.800781 -29.764377
    Oben rechts KachelX + 1 1983 KachelY 2403 -0.09970875 -0.51948638 -5.712891 -29.764377
    Unten links KachelX 1982 KachelY + 1 2404 -0.10124273 -0.52081749 -5.800781 -29.840644
    Unten rechts KachelX + 1 1983 KachelY + 1 2404 -0.09970875 -0.52081749 -5.712891 -29.840644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51948638--0.52081749) × R
    0.00133110999999997 × 6371000     		dl = 8480.5018099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51948638--0.52081749) × R
    0.00133110999999997 × 6371000     		dr = 8480.5018099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10124273--0.09970875) × cos(-0.51948638) × R
    0.00153398 × 0.868074272775093 × 6371000     		do = 8483.67821827426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10124273--0.09970875) × cos(-0.52081749) × R
    0.00153398 × 0.867412695201626 × 6371000     		du = 8477.21262952715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51948638)-sin(-0.52081749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868074272775093-0.867412695201626)×R²
    abs(-0.09970875--0.10124273)×0.000661577573466299×R²
    0.00153398×0.000661577573466299×6371000²
    0.00153398×0.000661577573466299×40589641000000     		ar = 71918443.3860749m²