Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19810 / 20958
↖ ↑ ↗
← S 44.824709°
E 37.639160°		 ← 866.47 m → S 44.824709°
E 37.650146°		 →
↑
866.39 m
↓
↑
866.39 m
↓
S 44.832500°
E 37.639160°		 ← 866.35 m →
750 651 m²		 S 44.832500°
E 37.650146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604568481445312 y=0.639602661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604568481445312 × 215)
    floor (0.604568481445312 × 32768)
    floor (19810.5)     		tx = 19810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639602661132812 × 215)
    floor (0.639602661132812 × 32768)
    floor (20958.5)     		ty = 20958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19810 / 20958 ti = "15/19810/20958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19810/20958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19810 ÷ 215
    19810 ÷ 32768     		x = 0.60455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20958 ÷ 215
    20958 ÷ 32768     		y = 0.63958740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60455322265625 × 2 - 1) × π
    0.2091064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65692727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63958740234375 × 2 - 1) × π
    -0.2791748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.877053515448547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65692727} λ = 0.65692727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877053515448547))-π/2
    2×atan(0.416006865417939)-π/2
    2×0.394228790520283-π/2
    0.788457581040566-1.57079632675     		φ = -0.78233875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65692727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.639160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78233875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.824709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19810 KachelY 20958 0.65692727 -0.78233875 37.639160 -44.824709
    Oben rechts KachelX + 1 19811 KachelY 20958 0.65711902 -0.78233875 37.650146 -44.824709
    Unten links KachelX 19810 KachelY + 1 20959 0.65692727 -0.78247474 37.639160 -44.832500
    Unten rechts KachelX + 1 19811 KachelY + 1 20959 0.65711902 -0.78247474 37.650146 -44.832500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78233875--0.78247474) × R
    0.000135989999999975 × 6371000     		dl = 866.392289999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78233875--0.78247474) × R
    0.000135989999999975 × 6371000     		dr = 866.392289999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65692727-0.65711902) × cos(-0.78233875) × R
    0.000191750000000046 × 0.709266800510727 × 6371000     		do = 866.468162226032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65692727-0.65711902) × cos(-0.78247474) × R
    0.000191750000000046 × 0.709170929142595 × 6371000     		du = 866.351041999771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78233875)-sin(-0.78247474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709266800510727-0.709170929142595)×R²
    abs(0.65711902-0.65692727)×9.5871368132161e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5871368132161e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5871368132161e-05×40589641000000     		ar = 750650.600409671m²