Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19810 / 20957
↖ ↑ ↗
← S 44.816916°
E 37.639160°		 ← 866.59 m → S 44.816916°
E 37.650146°		 →
↑
866.52 m
↓
↑
866.52 m
↓
S 44.824709°
E 37.639160°		 ← 866.47 m →
750 862 m²		 S 44.824709°
E 37.650146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604568481445312 y=0.639572143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604568481445312 × 215)
    floor (0.604568481445312 × 32768)
    floor (19810.5)     		tx = 19810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639572143554688 × 215)
    floor (0.639572143554688 × 32768)
    floor (20957.5)     		ty = 20957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19810 / 20957 ti = "15/19810/20957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19810/20957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19810 ÷ 215
    19810 ÷ 32768     		x = 0.60455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20957 ÷ 215
    20957 ÷ 32768     		y = 0.639556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60455322265625 × 2 - 1) × π
    0.2091064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65692727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.27911376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.876861767850067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65692727} λ = 0.65692727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876861767850067))-π/2
    2×atan(0.416086641383514)-π/2
    2×0.394296795219214-π/2
    0.788593590438427-1.57079632675     		φ = -0.78220274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65692727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.639160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78220274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.816916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19810 KachelY 20957 0.65692727 -0.78220274 37.639160 -44.816916
    Oben rechts KachelX + 1 19811 KachelY 20957 0.65711902 -0.78220274 37.650146 -44.816916
    Unten links KachelX 19810 KachelY + 1 20958 0.65692727 -0.78233875 37.639160 -44.824709
    Unten rechts KachelX + 1 19811 KachelY + 1 20958 0.65711902 -0.78233875 37.650146 -44.824709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78220274--0.78233875) × R
    0.000136009999999964 × 6371000     		dl = 866.519709999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78220274--0.78233875) × R
    0.000136009999999964 × 6371000     		dr = 866.519709999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65692727-0.65711902) × cos(-0.78220274) × R
    0.000191750000000046 × 0.709362672859063 × 6371000     		do = 866.585283649749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65692727-0.65711902) × cos(-0.78233875) × R
    0.000191750000000046 × 0.709266800510727 × 6371000     		du = 866.468162226032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78220274)-sin(-0.78233875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709362672859063-0.709266800510727)×R²
    abs(0.65711902-0.65692727)×9.58723483361901e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58723483361901e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58723483361901e-05×40589641000000     		ar = 750862.485824936m²