Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1981 / 2348
↖ ↑ ↗
← S 25.482951°
W  5.888672°		 ← 8 822.21 m → S 25.482951°
W  5.800781°		 →
↑
8 819.31 m
↓
↑
8 819.31 m
↓
S 25.562265°
W  5.888672°		 ← 8 816.38 m →
77 780 087 m²		 S 25.562265°
W  5.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4837646484375 y=0.5733642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4837646484375 × 212)
    floor (0.4837646484375 × 4096)
    floor (1981.5)     		tx = 1981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5733642578125 × 212)
    floor (0.5733642578125 × 4096)
    floor (2348.5)     		ty = 2348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1981 / 2348 ti = "12/1981/2348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1981/2348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1981 ÷ 212
    1981 ÷ 4096     		x = 0.483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2348 ÷ 212
    2348 ÷ 4096     		y = 0.5732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483642578125 × 2 - 1) × π
    -0.03271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10277671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5732421875 × 2 - 1) × π
    -0.146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10277671} λ = -0.10277671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.460194236352539))-π/2
    2×atan(0.631161039181893)-π/2
    2×0.563017462835931-π/2
    1.12603492567186-1.57079632675     		φ = -0.44476140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10277671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44476140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.482951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1981 KachelY 2348 -0.10277671 -0.44476140 -5.888672 -25.482951
    Oben rechts KachelX + 1 1982 KachelY 2348 -0.10124273 -0.44476140 -5.800781 -25.482951
    Unten links KachelX 1981 KachelY + 1 2349 -0.10277671 -0.44614569 -5.888672 -25.562265
    Unten rechts KachelX + 1 1982 KachelY + 1 2349 -0.10124273 -0.44614569 -5.800781 -25.562265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44476140--0.44614569) × R
    0.00138429000000001 × 6371000     		dl = 8819.31159000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44476140--0.44614569) × R
    0.00138429000000001 × 6371000     		dr = 8819.31159000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10277671--0.10124273) × cos(-0.44476140) × R
    0.00153397999999999 × 0.902713346952603 × 6371000     		do = 8822.20542535462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10277671--0.10124273) × cos(-0.44614569) × R
    0.00153397999999999 × 0.902116901829309 × 6371000     		du = 8816.37637516896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44476140)-sin(-0.44614569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902713346952603-0.902116901829309)×R²
    abs(-0.10124273--0.10277671)×0.000596445123294376×R²
    0.00153397999999999×0.000596445123294376×6371000²
    0.00153397999999999×0.000596445123294376×40589641000000     		ar = 77780086.8728258m²