Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19801 / 20867
↖ ↑ ↗
← S 44.111254°
E 37.540283°		 ← 877.12 m → S 44.111254°
E 37.551269°		 →
↑
877.03 m
↓
↑
877.03 m
↓
S 44.119141°
E 37.540283°		 ← 877.01 m →
769 215 m²		 S 44.119141°
E 37.551269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604293823242188 y=0.636825561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604293823242188 × 215)
    floor (0.604293823242188 × 32768)
    floor (19801.5)     		tx = 19801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636825561523438 × 215)
    floor (0.636825561523438 × 32768)
    floor (20867.5)     		ty = 20867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19801 / 20867 ti = "15/19801/20867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19801/20867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19801 ÷ 215
    19801 ÷ 32768     		x = 0.604278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20867 ÷ 215
    20867 ÷ 32768     		y = 0.636810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604278564453125 × 2 - 1) × π
    0.20855712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65520154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636810302734375 × 2 - 1) × π
    -0.27362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.859604483986847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65520154} λ = 0.65520154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859604483986847))-π/2
    2×atan(0.423329482800068)-π/2
    2×0.400454853895141-π/2
    0.800909707790282-1.57079632675     		φ = -0.76988662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65520154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.540283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76988662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.111254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19801 KachelY 20867 0.65520154 -0.76988662 37.540283 -44.111254
    Oben rechts KachelX + 1 19802 KachelY 20867 0.65539329 -0.76988662 37.551269 -44.111254
    Unten links KachelX 19801 KachelY + 1 20868 0.65520154 -0.77002428 37.540283 -44.119141
    Unten rechts KachelX + 1 19802 KachelY + 1 20868 0.65539329 -0.77002428 37.551269 -44.119141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76988662--0.77002428) × R
    0.000137660000000039 × 6371000     		dl = 877.031860000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76988662--0.77002428) × R
    0.000137660000000039 × 6371000     		dr = 877.031860000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65520154-0.65539329) × cos(-0.76988662) × R
    0.000191750000000046 × 0.71798959280975 × 6371000     		do = 877.124267668119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65520154-0.65539329) × cos(-0.77002428) × R
    0.000191750000000046 × 0.71789376723574 × 6371000     		du = 877.007203385755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76988662)-sin(-0.77002428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71798959280975-0.71789376723574)×R²
    abs(0.65539329-0.65520154)×9.5825574009889e-05×R²
    0.000191750000000046×9.5825574009889e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.5825574009889e-05×40589641000000     		ar = 769214.594586296m²