Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19794 / 21065
↖ ↑ ↗
← S 45.652448°
E 37.463379°		 ← 853.94 m → S 45.652448°
E 37.474365°		 →
↑
853.91 m
↓
↑
853.91 m
↓
S 45.660127°
E 37.463379°		 ← 853.82 m →
729 131 m²		 S 45.660127°
E 37.474365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604080200195312 y=0.642868041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604080200195312 × 215)
    floor (0.604080200195312 × 32768)
    floor (19794.5)     		tx = 19794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642868041992188 × 215)
    floor (0.642868041992188 × 32768)
    floor (21065.5)     		ty = 21065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19794 / 21065 ti = "15/19794/21065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19794/21065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19794 ÷ 215
    19794 ÷ 32768     		x = 0.60406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21065 ÷ 215
    21065 ÷ 32768     		y = 0.642852783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60406494140625 × 2 - 1) × π
    0.2081298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65385931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.28570556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.897570508485931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65385931} λ = 0.65385931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897570508485931))-π/2
    2×atan(0.40755861812538)-π/2
    2×0.387005396306291-π/2
    0.774010792612582-1.57079632675     		φ = -0.79678553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65385931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.463379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79678553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.652448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19794 KachelY 21065 0.65385931 -0.79678553 37.463379 -45.652448
    Oben rechts KachelX + 1 19795 KachelY 21065 0.65405106 -0.79678553 37.474365 -45.652448
    Unten links KachelX 19794 KachelY + 1 21066 0.65385931 -0.79691956 37.463379 -45.660127
    Unten rechts KachelX + 1 19795 KachelY + 1 21066 0.65405106 -0.79691956 37.474365 -45.660127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79678553--0.79691956) × R
    0.000134030000000007 × 6371000     		dl = 853.905130000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79678553--0.79691956) × R
    0.000134030000000007 × 6371000     		dr = 853.905130000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65385931-0.65405106) × cos(-0.79678553) × R
    0.000191750000000046 × 0.699009025541075 × 6371000     		do = 853.936861705435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65385931-0.65405106) × cos(-0.79691956) × R
    0.000191750000000046 × 0.698913172688128 × 6371000     		du = 853.81976409805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79678553)-sin(-0.79691956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699009025541075-0.698913172688128)×R²
    abs(0.65405106-0.65385931)×9.58528529474423e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58528529474423e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58528529474423e-05×40589641000000     		ar = 729131.072874048m²