Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19793 / 20869
↖ ↑ ↗
← S 44.127028°
E 37.452392°		 ← 876.89 m → S 44.127028°
E 37.463379°		 →
↑
876.78 m
↓
↑
876.78 m
↓
S 44.134913°
E 37.452392°		 ← 876.77 m →
768 786 m²		 S 44.134913°
E 37.463379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604049682617188 y=0.636886596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604049682617188 × 215)
    floor (0.604049682617188 × 32768)
    floor (19793.5)     		tx = 19793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636886596679688 × 215)
    floor (0.636886596679688 × 32768)
    floor (20869.5)     		ty = 20869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19793 / 20869 ti = "15/19793/20869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19793/20869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19793 ÷ 215
    19793 ÷ 32768     		x = 0.604034423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20869 ÷ 215
    20869 ÷ 32768     		y = 0.636871337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604034423828125 × 2 - 1) × π
    0.20806884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65366756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636871337890625 × 2 - 1) × π
    -0.27374267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.859987979183807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65366756} λ = 0.65366756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859987979183807))-π/2
    2×atan(0.423167169101934)-π/2
    2×0.400317199489682-π/2
    0.800634398979365-1.57079632675     		φ = -0.77016193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65366756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.452392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77016193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.127028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19793 KachelY 20869 0.65366756 -0.77016193 37.452392 -44.127028
    Oben rechts KachelX + 1 19794 KachelY 20869 0.65385931 -0.77016193 37.463379 -44.127028
    Unten links KachelX 19793 KachelY + 1 20870 0.65366756 -0.77029955 37.452392 -44.134913
    Unten rechts KachelX + 1 19794 KachelY + 1 20870 0.65385931 -0.77029955 37.463379 -44.134913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77016193--0.77029955) × R
    0.00013762000000006 × 6371000     		dl = 876.777020000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77016193--0.77029955) × R
    0.00013762000000006 × 6371000     		dr = 876.777020000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65366756-0.65385931) × cos(-0.77016193) × R
    0.000191749999999935 × 0.717797935019961 × 6371000     		do = 876.890130989036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65366756-0.65385931) × cos(-0.77029955) × R
    0.000191749999999935 × 0.717702110094196 × 6371000     		du = 876.773067498594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77016193)-sin(-0.77029955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717797935019961-0.717702110094196)×R²
    abs(0.65385931-0.65366756)×9.58249257642096e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58249257642096e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58249257642096e-05×40589641000000     		ar = 768785.797840162m²