Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19790 / 20872
↖ ↑ ↗
← S 44.150681°
E 37.419434°		 ← 876.54 m → S 44.150681°
E 37.430420°		 →
↑
876.46 m
↓
↑
876.46 m
↓
S 44.158563°
E 37.419434°		 ← 876.42 m →
768 199 m²		 S 44.158563°
E 37.430420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603958129882812 y=0.636978149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603958129882812 × 215)
    floor (0.603958129882812 × 32768)
    floor (19790.5)     		tx = 19790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636978149414062 × 215)
    floor (0.636978149414062 × 32768)
    floor (20872.5)     		ty = 20872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19790 / 20872 ti = "15/19790/20872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19790/20872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19790 ÷ 215
    19790 ÷ 32768     		x = 0.60394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20872 ÷ 215
    20872 ÷ 32768     		y = 0.636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60394287109375 × 2 - 1) × π
    0.2078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65309232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.27392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.860563221979248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65309232} λ = 0.65309232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860563221979248))-π/2
    2×atan(0.42292381523713)-π/2
    2×0.40011078678807-π/2
    0.800221573576139-1.57079632675     		φ = -0.77057475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65309232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.419434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77057475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.150681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19790 KachelY 20872 0.65309232 -0.77057475 37.419434 -44.150681
    Oben rechts KachelX + 1 19791 KachelY 20872 0.65328407 -0.77057475 37.430420 -44.150681
    Unten links KachelX 19790 KachelY + 1 20873 0.65309232 -0.77071232 37.419434 -44.158563
    Unten rechts KachelX + 1 19791 KachelY + 1 20873 0.65328407 -0.77071232 37.430420 -44.158563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77057475--0.77071232) × R
    0.000137570000000031 × 6371000     		dl = 876.458470000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77057475--0.77071232) × R
    0.000137570000000031 × 6371000     		dr = 876.458470000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65309232-0.65328407) × cos(-0.77057475) × R
    0.000191750000000046 × 0.717510447328143 × 6371000     		do = 876.538924741328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65309232-0.65328407) × cos(-0.77071232) × R
    0.000191750000000046 × 0.717414616465847 × 6371000     		du = 876.421853998586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77057475)-sin(-0.77071232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717510447328143-0.717414616465847)×R²
    abs(0.65328407-0.65309232)×9.58308622960313e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58308622960313e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58308622960313e-05×40589641000000     		ar = 768198.662264284m²