Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1979 / 957
↖ ↑ ↗
← N 68.752315°
W  6.064453°		 ← 3 541.73 m → N 68.752315°
W  5.976562°		 →
↑
3 544.25 m
↓
↑
3 544.25 m
↓
N 68.720440°
W  6.064453°		 ← 3 546.80 m →
12 561 774 m²		 N 68.720440°
W  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4832763671875 y=0.2337646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4832763671875 × 212)
    floor (0.4832763671875 × 4096)
    floor (1979.5)     		tx = 1979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2337646484375 × 212)
    floor (0.2337646484375 × 4096)
    floor (957.5)     		ty = 957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1979 / 957 ti = "12/1979/957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1979/957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1979 ÷ 212
    1979 ÷ 4096     		x = 0.483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 957 ÷ 212
    957 ÷ 4096     		y = 0.233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483154296875 × 2 - 1) × π
    -0.03369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10584467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233642578125 × 2 - 1) × π
    0.53271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.6735730395354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10584467} λ = -0.10584467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6735730395354))-π/2
    2×atan(5.33118233235287)-π/2
    2×1.38537529546224-π/2
    2.77075059092448-1.57079632675     		φ = 1.19995426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10584467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19995426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.752315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1979 KachelY 957 -0.10584467 1.19995426 -6.064453 68.752315
    Oben rechts KachelX + 1 1980 KachelY 957 -0.10431069 1.19995426 -5.976562 68.752315
    Unten links KachelX 1979 KachelY + 1 958 -0.10584467 1.19939795 -6.064453 68.720440
    Unten rechts KachelX + 1 1980 KachelY + 1 958 -0.10431069 1.19939795 -5.976562 68.720440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19995426-1.19939795) × R
    0.000556309999999893 × 6371000     		dl = 3544.25100999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19995426-1.19939795) × R
    0.000556309999999893 × 6371000     		dr = 3544.25100999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10584467--0.10431069) × cos(1.19995426) × R
    0.00153398 × 0.362400385565398 × 6371000     		do = 3541.73410471747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10584467--0.10431069) × cos(1.19939795) × R
    0.00153398 × 0.362918822903626 × 6371000     		du = 3546.80078586655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19995426)-sin(1.19939795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362400385565398-0.362918822903626)×R²
    abs(-0.10431069--0.10584467)×0.000518437338228372×R²
    0.00153398×0.000518437338228372×6371000²
    0.00153398×0.000518437338228372×40589641000000     		ar = 12561773.7966526m²