Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19787 / 20877
↖ ↑ ↗
← S 44.190082°
E 37.386475°		 ← 875.95 m → S 44.190082°
E 37.397461°		 →
↑
875.89 m
↓
↑
875.89 m
↓
S 44.197959°
E 37.386475°		 ← 875.84 m →
767 183 m²		 S 44.197959°
E 37.397461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603866577148438 y=0.637130737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603866577148438 × 215)
    floor (0.603866577148438 × 32768)
    floor (19787.5)     		tx = 19787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637130737304688 × 215)
    floor (0.637130737304688 × 32768)
    floor (20877.5)     		ty = 20877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19787 / 20877 ti = "15/19787/20877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19787/20877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19787 ÷ 215
    19787 ÷ 32768     		x = 0.603851318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20877 ÷ 215
    20877 ÷ 32768     		y = 0.637115478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603851318359375 × 2 - 1) × π
    0.20770263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65251708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637115478515625 × 2 - 1) × π
    -0.27423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.861521959971649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65251708} λ = 0.65251708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861521959971649))-π/2
    2×atan(0.422518536416716)-π/2
    2×0.399766949374616-π/2
    0.799533898749232-1.57079632675     		φ = -0.77126243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65251708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.386475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77126243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.190082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19787 KachelY 20877 0.65251708 -0.77126243 37.386475 -44.190082
    Oben rechts KachelX + 1 19788 KachelY 20877 0.65270883 -0.77126243 37.397461 -44.190082
    Unten links KachelX 19787 KachelY + 1 20878 0.65251708 -0.77139991 37.386475 -44.197959
    Unten rechts KachelX + 1 19788 KachelY + 1 20878 0.65270883 -0.77139991 37.397461 -44.197959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77126243--0.77139991) × R
    0.000137479999999912 × 6371000     		dl = 875.88507999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77126243--0.77139991) × R
    0.000137479999999912 × 6371000     		dr = 875.88507999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65251708-0.65270883) × cos(-0.77126243) × R
    0.000191750000000046 × 0.717031275757445 × 6371000     		do = 875.953549943079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65251708-0.65270883) × cos(-0.77139991) × R
    0.000191750000000046 × 0.716935439785453 × 6371000     		du = 875.836472958132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77126243)-sin(-0.77139991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717031275757445-0.716935439785453)×R²
    abs(0.65270883-0.65251708)×9.58359719915869e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58359719915869e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58359719915869e-05×40589641000000     		ar = 767183.37338356m²